Fiche Complète de Thermodynamique

Cette fiche synthétise les relations essentielles de la thermodynamique classique, utiles pour les calculs, bilans énergétiques et résolution d'exercices.

1. Premiers principes

1.1. Premier principe de la thermodynamique

Premier principe de la thermodynamique

Conservation de l'énergie :

\boxed{\Delta U = Q - W}

où :

$\Delta U$ : variation d'énergie interne (J),
$Q$ : chaleur reçue (J),
$W$ : travail fourni (J).

1.2. Forme différentielle

Forme infinitésimale

\boxed{dU = \delta Q - \delta W}

$\delta Q$ et $\delta W$ ne sont pas des différentielles exactes.

1.3. Travail des forces de pression

Travail mécanique en thermodynamique

Pour un gaz :

\boxed{\delta W = P\,dV}

où $P$ est la pression et $dV$ la variation de volume.

2. Gaz parfaits

2.1. Équation d'état

Équation d’état du gaz parfait

\boxed{PV = nRT}

avec :

$P$ : pression (Pa),
$V$ : volume (m³),
$n$ : quantité de matière (mol),
$R = 8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ : constante des gaz parfaits,
$T$ : température (K).

2.2. Énergie interne d'un gaz parfait

Énergie interne des gaz parfaits

\boxed{U = \frac{f}{2}nRT}

avec $f$ le nombre de degrés de liberté actifs :

Monoatomique : $f = 3$ ,
Diatomique (sans vibration) : $f = 5$ ,
Polyatomique : $f \geq 6$ .

2.3. Capacités thermiques

Capacités thermiques

À volume constant :

\boxed{C_V = \left( \frac{dU}{dT} \right)_V = \frac{f}{2}nR}

À pression constante :

\boxed{C_P = C_V + nR}

Relation fondamentale :

\boxed{C_P - C_V = nR}

2.4. Transformations particulières

Transformation	Condition	Relations caractéristiques
Isotherme	$T = \mathrm{cste}$	$\Delta U = 0,\quad Q = W$
Isochore	$V = \mathrm{cste}$	$W = 0,\quad Q = \Delta U$
Isobare	$P = \mathrm{cste}$	$Q = \Delta H$
Adiabatique réversible	$Q = 0$	$\Delta U = -W$

3. Utilisation du coefficient $\gamma$

Coefficient gamma

Définition :

\boxed{\gamma = \frac{C_P}{C_V}}

Relations adiabatiques réversibles :

Pression-volume :

\boxed{PV^\gamma = \mathrm{constante}}

Température-volume :

\boxed{TV^{\gamma-1} = \mathrm{constante}}

Température-pression :

\boxed{T^\gamma P^{1-\gamma} = \mathrm{constante}}

Travail :

\boxed{W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}}

4. Fonctions d'état

Fonction	Différentielle	Variables naturelles
Énergie interne $U$	$dU = T\,dS - P\,dV$	$(S, V)$
Enthalpie $H = U + P\,V$	$dH = T\,dS + V\,dP$	$(S, P)$
Énergie libre $F = U - T\,S$	$dF = -S\,dT - P\,dV$	$(T, V)$
Enthalpie libre $G = H - T\,S$	$dG = -S\,dT + V\,dP$	$(T, P)$

5. Deuxième principe de la thermodynamique

Deuxième principe de la thermodynamique

Transformation réversible :

\boxed{dS = \frac{\delta Q}{T}}

Système isolé :

\boxed{\Delta S_{\mathrm{total}} \geq 0}

6. Entropie

Entropie :

Expression générale :

\boxed{S = -k_B \sum_i p_i \ln p_i}

Cas équiprobable :

\boxed{S = k_B \ln \Omega}

7. Machines thermiques

Machine thermique :

7.1. Cycle de Carnot

\boxed{\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \frac{T_F}{T_C}}

7.2. Coefficients de performance

Pompe à chaleur :

\boxed{\mathrm{COP}_{\mathrm{chaud}} = \frac{Q_C}{W}}

Réfrigérateur :

\boxed{\mathrm{COP}_{\mathrm{froid}} = \frac{Q_F}{W}}

8. Transferts thermiques

Modes de transfert de chaleur :

Conduction (loi de Fourier) :

\boxed{q = -\lambda \frac{dT}{dx}}

Convection (loi empirique) :

\boxed{q = h (T_s - T_\infty)}

Rayonnement thermique (loi de Stefan-Boltzmann) :

\boxed{q = \sigma \epsilon (T_s^4 - T_e^4)}

9. Analogie Thermique-Electrique

En thermique une analogie peut-être faite avec l’électricité pour chaque transfert de chaleur :

Conduction :

\boxed{R_{\mathrm{cond}} = \frac{e}{\lambda A}}

Convection :

\boxed{R_{\mathrm{conv}} = \frac{1}{hA}}

Rayonnement (approximation locale) :

\boxed{R_{\mathrm{rad}} = \frac{1}{4 \sigma \epsilon T_{\mathrm{moy}}^3 A}}

9.1. Loi globale : bilan thermique stationnaire

Échange thermique total :

\boxed{P = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th total}}}}

avec :

R_{\mathrm{th total}} = R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{conv}} + R_{\mathrm{rad}}

Analogie électrique : chaleur = courant, température = tension, résistance thermique = résistance électrique.

10. Nombres sans dimension importants

En thermodynamique, en transferts thermiques et en mécanique des fluides, plusieurs nombres sans dimension permettent de caractériser le régime physique :

10.1. Nombre d'Avogadro $N_A$

Nombre d’Avogadro :

Nombre d'entités élémentaires (atomes, molécules) dans une mole de matière :

\boxed{N_A = 6{,}022\ 140\ 76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}}

10.2. Nombre de Reynolds $Re$

Nombre de Reynolds :

Rapport entre les forces d'inertie et de viscosité dans un fluide :

\boxed{Re = \frac{U L}{\nu}}

où :

$U$ : vitesse caractéristique du fluide (m/s),
$L$ : longueur caractéristique (m),
$\nu$ : viscosité cinématique (m²/s).

Indique si l'écoulement est laminaire ( $Re \ll 2000$ ) ou turbulent ( $Re \gg 4000$ ).

10.3. Nombre de Prandtl $Pr$

Nombre de Prandtl :

Rapport entre la diffusion de quantité de mouvement et la diffusion thermique :

\boxed{Pr = \frac{\nu}{\alpha}}

où :

$\nu$ : viscosité cinématique (m²/s),
$\alpha$ : diffusivité thermique (m²/s).

Donne l'importance relative de la vitesse et de la température dans l'écoulement.

10.4. Nombre de Nusselt $Nu$

Nombre de Nusselt :

Rapport entre transfert thermique par convection et par conduction :

\boxed{Nu = \frac{h L}{\lambda}}

où :

$h$ : coefficient convectif (W/m²/K),
$L$ : longueur caractéristique (m),
$\lambda$ : conductivité thermique (W/m/K).

Plus $Nu$ est grand, plus la convection domine sur la conduction.

10.5. Nombre de Rayleigh $Ra$

Nombre de Rayleigh :

Mesure la tendance d'un fluide à devenir instable sous l'effet de la convection naturelle :

\boxed{Ra = \frac{g \beta (T_s - T_\infty) L^3}{\nu \alpha}}

où :

$g$ : gravité (m/s²),
$\beta$ : coefficient de dilatation thermique (K $^{-1}$ ),
( (T_s - T_\infty) ) : différence de température (K).

Si $Ra$ est grand convection naturelle importante.

10.6. Nombre de Grashof $Gr$

Nombre de Grashof :

Rapport entre les forces d'Archimède et les forces visqueuses :

\boxed{Gr = \frac{g \beta (T_s - T_\infty) L^3}{\nu^2}}

Contrôle la mise en mouvement naturelle d'un fluide par chauffage (avant convection turbulente).

10.7. Nombre de Péclet $Pe$

Définition :

\boxed{Pe = Re \times Pr = \frac{vL}{\alpha}}

Interprétation :

Situation typique	Valeur de $Pe$	Mécanisme dominant
Écoulement d'air rapide	$Pe \gg 1$	Convection
Fluide visqueux au repos	$Pe \ll 1$	Conduction
Pluie ou brouillard lent	$Pe \sim 1$	Effets mixtes

Permet de juger si un transport est dû principalement au déplacement ou à la diffusion.

Fiche Complète de Thermodynamique

Cette fiche synthétise les relations essentielles de la thermodynamique classique, utiles pour les calculs, bilans énergétiques et résolution d'exercices.

1. Premiers principes

1.1. Premier principe de la thermodynamique

Premier principe de la thermodynamique

Conservation de l'énergie :

\boxed{\Delta U = Q - W}

où :

$\Delta U$ : variation d'énergie interne (J),
$Q$ : chaleur reçue (J),
$W$ : travail fourni (J).

1.2. Forme différentielle

Forme infinitésimale

\boxed{dU = \delta Q - \delta W}

$\delta Q$ et $\delta W$ ne sont pas des différentielles exactes.

1.3. Travail des forces de pression

Travail mécanique en thermodynamique

Pour un gaz :

\boxed{\delta W = P\,dV}

où $P$ est la pression et $dV$ la variation de volume.

2. Gaz parfaits

2.1. Équation d'état

Équation d’état du gaz parfait

\boxed{PV = nRT}

avec :

$P$ : pression (Pa),
$V$ : volume (m³),
$n$ : quantité de matière (mol),
$R = 8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ : constante des gaz parfaits,
$T$ : température (K).

2.2. Énergie interne d'un gaz parfait

Énergie interne des gaz parfaits

\boxed{U = \frac{f}{2}nRT}

avec $f$ le nombre de degrés de liberté actifs :

Monoatomique : $f = 3$ ,
Diatomique (sans vibration) : $f = 5$ ,
Polyatomique : $f \geq 6$ .

2.3. Capacités thermiques

Capacités thermiques

À volume constant :

\boxed{C_V = \left( \frac{dU}{dT} \right)_V = \frac{f}{2}nR}

À pression constante :

\boxed{C_P = C_V + nR}

Relation fondamentale :

\boxed{C_P - C_V = nR}

2.4. Transformations particulières

Transformation	Condition	Relations caractéristiques
Isotherme	$T = \mathrm{cste}$	$\Delta U = 0,\quad Q = W$
Isochore	$V = \mathrm{cste}$	$W = 0,\quad Q = \Delta U$
Isobare	$P = \mathrm{cste}$	$Q = \Delta H$
Adiabatique réversible	$Q = 0$	$\Delta U = -W$

3. Utilisation du coefficient $\gamma$

Coefficient gamma

Définition :

\boxed{\gamma = \frac{C_P}{C_V}}

Relations adiabatiques réversibles :

Pression-volume :

\boxed{PV^\gamma = \mathrm{constante}}

Température-volume :

\boxed{TV^{\gamma-1} = \mathrm{constante}}

Température-pression :

\boxed{T^\gamma P^{1-\gamma} = \mathrm{constante}}

Travail :

\boxed{W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}}

4. Fonctions d'état

Fonction	Différentielle	Variables naturelles
Énergie interne $U$	$dU = T\,dS - P\,dV$	$(S, V)$
Enthalpie $H = U + P\,V$	$dH = T\,dS + V\,dP$	$(S, P)$
Énergie libre $F = U - T\,S$	$dF = -S\,dT - P\,dV$	$(T, V)$
Enthalpie libre $G = H - T\,S$	$dG = -S\,dT + V\,dP$	$(T, P)$

5. Deuxième principe de la thermodynamique

Deuxième principe de la thermodynamique

Transformation réversible :

\boxed{dS = \frac{\delta Q}{T}}

Système isolé :

\boxed{\Delta S_{\mathrm{total}} \geq 0}

6. Entropie

Entropie :

Expression générale :

\boxed{S = -k_B \sum_i p_i \ln p_i}

Cas équiprobable :

\boxed{S = k_B \ln \Omega}

7. Machines thermiques

Machine thermique :

7.1. Cycle de Carnot

\boxed{\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \frac{T_F}{T_C}}

7.2. Coefficients de performance

Pompe à chaleur :

\boxed{\mathrm{COP}_{\mathrm{chaud}} = \frac{Q_C}{W}}

Réfrigérateur :

\boxed{\mathrm{COP}_{\mathrm{froid}} = \frac{Q_F}{W}}

8. Transferts thermiques

Modes de transfert de chaleur :

Conduction (loi de Fourier) :

\boxed{q = -\lambda \frac{dT}{dx}}

Convection (loi empirique) :

\boxed{q = h (T_s - T_\infty)}

Rayonnement thermique (loi de Stefan-Boltzmann) :

\boxed{q = \sigma \epsilon (T_s^4 - T_e^4)}

9. Analogie Thermique-Electrique

En thermique une analogie peut-être faite avec l’électricité pour chaque transfert de chaleur :

Conduction :

\boxed{R_{\mathrm{cond}} = \frac{e}{\lambda A}}

Convection :

\boxed{R_{\mathrm{conv}} = \frac{1}{hA}}

Rayonnement (approximation locale) :

\boxed{R_{\mathrm{rad}} = \frac{1}{4 \sigma \epsilon T_{\mathrm{moy}}^3 A}}

9.1. Loi globale : bilan thermique stationnaire

Échange thermique total :

\boxed{P = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th total}}}}

avec :

R_{\mathrm{th total}} = R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{conv}} + R_{\mathrm{rad}}

Analogie électrique : chaleur = courant, température = tension, résistance thermique = résistance électrique.

10. Nombres sans dimension importants

En thermodynamique, en transferts thermiques et en mécanique des fluides, plusieurs nombres sans dimension permettent de caractériser le régime physique :

10.1. Nombre d'Avogadro $N_A$

Nombre d’Avogadro :

Nombre d'entités élémentaires (atomes, molécules) dans une mole de matière :

\boxed{N_A = 6{,}022\ 140\ 76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}}

10.2. Nombre de Reynolds $Re$

Nombre de Reynolds :

Rapport entre les forces d'inertie et de viscosité dans un fluide :

\boxed{Re = \frac{U L}{\nu}}

où :

$U$ : vitesse caractéristique du fluide (m/s),
$L$ : longueur caractéristique (m),
$\nu$ : viscosité cinématique (m²/s).

Indique si l'écoulement est laminaire ( $Re \ll 2000$ ) ou turbulent ( $Re \gg 4000$ ).

10.3. Nombre de Prandtl $Pr$

Nombre de Prandtl :

Rapport entre la diffusion de quantité de mouvement et la diffusion thermique :

\boxed{Pr = \frac{\nu}{\alpha}}

où :

$\nu$ : viscosité cinématique (m²/s),
$\alpha$ : diffusivité thermique (m²/s).

Donne l'importance relative de la vitesse et de la température dans l'écoulement.

10.4. Nombre de Nusselt $Nu$

Nombre de Nusselt :

Rapport entre transfert thermique par convection et par conduction :

\boxed{Nu = \frac{h L}{\lambda}}

où :

$h$ : coefficient convectif (W/m²/K),
$L$ : longueur caractéristique (m),
$\lambda$ : conductivité thermique (W/m/K).

Plus $Nu$ est grand, plus la convection domine sur la conduction.

10.5. Nombre de Rayleigh $Ra$

Nombre de Rayleigh :

Mesure la tendance d'un fluide à devenir instable sous l'effet de la convection naturelle :

\boxed{Ra = \frac{g \beta (T_s - T_\infty) L^3}{\nu \alpha}}

où :

$g$ : gravité (m/s²),
$\beta$ : coefficient de dilatation thermique (K $^{-1}$ ),
( (T_s - T_\infty) ) : différence de température (K).

Si $Ra$ est grand convection naturelle importante.

10.6. Nombre de Grashof $Gr$

Nombre de Grashof :

Rapport entre les forces d'Archimède et les forces visqueuses :

\boxed{Gr = \frac{g \beta (T_s - T_\infty) L^3}{\nu^2}}

Contrôle la mise en mouvement naturelle d'un fluide par chauffage (avant convection turbulente).

10.7. Nombre de Péclet $Pe$

Définition :

\boxed{Pe = Re \times Pr = \frac{vL}{\alpha}}

Interprétation :

Situation typique	Valeur de $Pe$	Mécanisme dominant
Écoulement d'air rapide	$Pe \gg 1$	Convection
Fluide visqueux au repos	$Pe \ll 1$	Conduction
Pluie ou brouillard lent	$Pe \sim 1$	Effets mixtes

Permet de juger si un transport est dû principalement au déplacement ou à la diffusion.

Fiche Complète de Thermodynamique

1. Premiers principes

1.1. Premier principe de la thermodynamique

1.2. Forme différentielle

1.3. Travail des forces de pression

2. Gaz parfaits

2.1. Équation d'état

2.2. Énergie interne d'un gaz parfait

2.3. Capacités thermiques

2.4. Transformations particulières

3. Utilisation du coefficient γ\gammaγ

4. Fonctions d'état

5. Deuxième principe de la thermodynamique

6. Entropie

7. Machines thermiques

7.1. Cycle de Carnot

7.2. Coefficients de performance

8. Transferts thermiques

9. Analogie Thermique-Electrique

9.1. Loi globale : bilan thermique stationnaire

10. Nombres sans dimension importants

10.1. Nombre d'Avogadro NAN_ANA​

10.2. Nombre de Reynolds ReReRe

10.3. Nombre de Prandtl PrPrPr

10.4. Nombre de Nusselt NuNuNu

10.5. Nombre de Rayleigh RaRaRa

10.6. Nombre de Grashof GrGrGr

10.7. Nombre de Péclet PePePe

Fiche Complète de Thermodynamique

1. Premiers principes

1.1. Premier principe de la thermodynamique

1.2. Forme différentielle

1.3. Travail des forces de pression

2. Gaz parfaits

2.1. Équation d'état

2.2. Énergie interne d'un gaz parfait

2.3. Capacités thermiques

2.4. Transformations particulières

3. Utilisation du coefficient γ\gammaγ

4. Fonctions d'état

5. Deuxième principe de la thermodynamique

6. Entropie

7. Machines thermiques

7.1. Cycle de Carnot

7.2. Coefficients de performance

8. Transferts thermiques

9. Analogie Thermique-Electrique

9.1. Loi globale : bilan thermique stationnaire

10. Nombres sans dimension importants

10.1. Nombre d'Avogadro NAN_ANA​

10.2. Nombre de Reynolds ReReRe

10.3. Nombre de Prandtl PrPrPr

10.4. Nombre de Nusselt NuNuNu

10.5. Nombre de Rayleigh RaRaRa

10.6. Nombre de Grashof GrGrGr

10.7. Nombre de Péclet PePePe

3. Utilisation du coefficient $\gamma$

10.1. Nombre d'Avogadro $N_A$

10.2. Nombre de Reynolds $Re$

10.3. Nombre de Prandtl $Pr$

10.4. Nombre de Nusselt $Nu$

10.5. Nombre de Rayleigh $Ra$

10.6. Nombre de Grashof $Gr$

10.7. Nombre de Péclet $Pe$

3. Utilisation du coefficient $\gamma$

10.1. Nombre d'Avogadro $N_A$

10.2. Nombre de Reynolds $Re$

10.3. Nombre de Prandtl $Pr$

10.4. Nombre de Nusselt $Nu$

10.5. Nombre de Rayleigh $Ra$

10.6. Nombre de Grashof $Gr$

10.7. Nombre de Péclet $Pe$