Le Gaz Parfait

Le gaz parfait est un modèle thermodynamique simplifié qui permet de décrire le comportement de nombreux gaz réels dans des conditions normales.

Il obéit à une loi simple reliant pression, volume, température et quantité de matière.

Ce modèle est fondamental pour comprendre les transformations des gaz en physique et en chimie.

1. Hypothèses du modèle du gaz parfait

Un gaz parfait est défini par les hypothèses suivantes :

Les molécules sont ponctuelles et sans interaction entre elles.
Les chocs entre molécules et avec les parois sont élastiques.
L'énergie interne dépend uniquement de la température.
La pression est due aux chocs des particules sur les parois.

Ce modèle devient très pertinent à basse pression et température modérée.

2. Équation d'état

L'équation d'état du gaz parfait est donnée par :

\boxed{PV = nRT}

avec :

$P$ : pression en pascals (Pa),
$V$ : volume en mètres cubes (m³),
$n$ : quantité de matière en moles (mol),
$R = 8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ : constante des gazparfaits,
$T$ : température en kelvins (K).

Cette équation est la base de toutes les lois de transformation d'un gaz parfait.

3. Énergie interne d'un gaz parfait

Pour un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne est donnée par :

U = \frac{3}{2}nRT

Pour un gaz diatomique (ex : $\text{O}_2$ , $\text{N}_2$ ) :

U = \frac{5}{2}nRT

En général :

U = n\,C_v\,T \quad \text{où } C_v \text{ est la capacité thermique à volume constant}

L'énergie interne ne dépend que de la température, pas du volume ni de la pression.

4. Démonstration de l'équation d'état (approche microscopique)

On établit ici l'équation d'état du gaz parfait à partir des lois du mouvement moléculaire, en partant de la pression exercée par les particules sur les parois.

On considère un gaz dans un cube de côté $L$ , donc de volume $V = L^3$ , contenant $N$ particules identiques de masse $m$ .

4.1. Force exercée par une particule

Une particule de vitesse $v_x$ frappe la paroi perpendiculaire à l'axe $x$ (choc élastique).

Sa quantité de mouvement passe de $+mv_x$ à $-mv_x$ , donc variation :

\Delta p = -2mv_x

Mais cette variation concerne la particule. Par le principe des actions réciproques, la paroi reçoit :

\Delta p_{\mathrm{paroi}} = +2mv_x

Temps entre deux chocs successifs avec cette même paroi (aller-retour) :

\Delta t = \frac{2L}{v_x}

Force moyenne exercée sur la paroi par cette particule :

F = \frac{\Delta p_{\mathrm{paroi}}}{\Delta t} = \frac{mv_x^2}{L}

La pression est cette force divisée par la surface de la paroi ( $S = L^2$ ) :

P = \frac{F}{S} = \frac{mv_x^2}{L^3} = \frac{mv_x^2}{V}

4.2. Moyenne sur toutes les particules

Pour $N$ particules avec différentes vitesses, on prend la moyenne :

P = \frac{N m \overline{v_x^2}}{V}

Par hypothèse d'isotropie (aucune direction privilégiée), on a :

\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2} \Rightarrow \overline{v_x^2} = \frac{1}{3} \overline{v^2}

D'où :

P = \frac{1}{3} \frac{N m \overline{v^2}}{V}

4.3. Lien entre agitation moléculaire et température

La mécanique statistique (via la distribution de Maxwell-Boltzmann) établit que l'énergie cinétique moyenne d'une particule est reliée à la température $T$ par :

\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k_B T

où :

$\overline{v^2}$ est la vitesse quadratique moyenne,
$k_B$ est la constante de Boltzmann $(1{,}38\times 10^{-23}\ \mathrm{J\cdot K^{-1}})$

En isolant $m \overline{v^2}$ , on obtient :

m \overline{v^2} = 3k_B T

En reportant dans l'expression de la pression :

P = \frac{N \cdot k_B T}{V}

4.4. Forme macroscopique de l'équation d'état

Comme $N = n N_A$ , avec $N_A$ le nombre d'Avogadro, et que $R = N_A k_B$ , on obtient :

P V = n R T

On retrouve l'équation d'état du gaz parfait à partir d'une analyse microscopique des chocs moléculaires.

5. Exemples d'application

5.1. Chauffage d'un gaz à volume constant

Un gaz monoatomique de $n = 2\,\text{mol}$ est chauffé de $T = 300\,K$ à $T = 600\,K$ .

Énergie interne :

\Delta U = n C_v (T_f - T_i) = 2 \cdot \frac{3}{2}R \cdot (600 - 300) = 3R \cdot 300 = 3 \cdot 8{,}314 \cdot 300 \approx 7482\,\mathrm{J}

5.2. Expansion isotherme d'un gaz

Un gaz subit une expansion isotherme de $V_i = 1\,L$ à $V_f = 3\,L$ , à $T = 300\,K$ , avec $n = 1\,mol$ .

Travail fourni :

W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = 1 \cdot 8{,}314 \cdot 300 \cdot \ln(3) \approx 2732\,\mathrm{J}