Conduction Thermique / Loi de Fourrier

La conduction thermique est un mode de transfert d'énergie sans déplacement global de matière. Elle intervient dans les solides, les liquides au repos et parfois dans les gaz.

La loi fondamentale qui régit la conduction est :

\boxed{q = -\lambda \frac{dT}{dx}}

où :

$q$ : flux thermique (W/m²),
$\lambda$ : conductivité thermique (W/m/K),
$\frac{dT}{dx}$ : gradient de température (K/m).

C'est la loi de Fourier : la chaleur s'écoule des zones chaudes vers les zones froides, proportionnellement au gradient de température.

1. Origine physique de la conduction

La conduction est due :

Aux vibrations atomiques (solides),
Aux chocs moléculaires (gaz, liquides).

Quand une extrémité d'un matériau est chauffée, les particules vibrent plus fortement, transmettant l'énergie à leurs voisines propagation du front de chaleur.

Pas de déplacement macroscopique de matière, seulement propagation de l'agitation thermique.

2. Démonstration de la loi de Fourier

But : relier le flux de chaleur $q$ au gradient de température.

METTRE ILLUSTRATION

Considérons une tranche de matériau :

Épaisseur infinitésimale $dx$ ,
Section $S$ ,
Densité $\rho$ ,
Capacité thermique massique $c$ .

Flux de chaleur :

Flux entrant :

\delta Q_{\mathrm{entrant}} = q(x) \cdot S \cdot dt

Flux sortant :

\delta Q_{\mathrm{sortant}} = q(x+dx) \cdot S \cdot dt

Variation nette :

d(\mathrm{énergie}) = \delta Q_{\mathrm{entrant}} - \delta Q_{\mathrm{sortant}} = -\left(\frac{dq}{dx} \right) S dx\, dt

En même temps, l'énergie stockée est :

d(\mathrm{énergie}) = \rho c S dx \, dT

Égalité des deux expressions :

\rho c \frac{dT}{dt} = -\frac{dq}{dx}

Observation expérimentale : le flux thermique $q$ est proportionnel au gradient de température :

\boxed{q = -\lambda \frac{dT}{dx}}

avec $\lambda$ la conductivité thermique.

La loi de Fourier est donc expérimentale, mais cohérente avec la conservation locale de l'énergie.

3. Formule simplifiée (température linéaire)

Si la température varie linéairement à travers une épaisseur $e$ :

q = \lambda \frac{\Delta T}{e}

Quantité de chaleur échangée sur une surface $S$ pendant $\Delta t$ :

Q = q \times S \times \Delta t

Exemple : un mur d'épaisseur $0{,}2\,m$ avec une différence de température de $10\,K$ et $\lambda = 1{,}5\,\text{W/m/K}$ .

Flux thermique :

q = 1{,}5 \times \frac{10}{0{,}2} = 75\,\mathrm{W/m}^2

4. Conductivité thermique de quelques matériaux

Matériau	Conductivité $\lambda$ (W·m $^{-1}$ ·K $^{-1}$ )
Cuivre	400
Aluminium	240
Acier	50
Eau liquide	0,6
Air (au repos)	0,026
Laine de verre	0,04

Plus $\lambda$ est grand, plus le matériau conduit bien la chaleur. Les isolants thermiques (laine, polystyrène) ont une conductivité très faible.

5. Résistance thermique

En thermique une analogie des échanges thermiques peuvent être faits avec l'électricité, on appelle cela : l’Analogie Électrique de l’Échange Thermique

On définit la résistance thermique d'une paroi :

\boxed{R = \frac{e}{\lambda}}

où :

$e$ : épaisseur (m),
$\lambda$ : conductivité thermique.

Le flux est alors :

\boxed{q = \frac{\Delta T}{R}}

METTRE ILLUSTRATION ?

Mur composite : pour plusieurs couches, on additionne les résistances :

R_{\mathrm{total}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots

Puis :

\boxed{q = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}}}

Exactement comme pour des résistances électriques en série !

6. Conduction dans les liquides et gaz

Même formule : $q = -\lambda \frac{dT}{dx}$ ,
Mais $\lambda$ est beaucoup plus petit que dans les solides,
Conduction thermique très lente.

Exemples :

L'air est un mauvais conducteur utilisé pour l'isolation,
L'eau conduit un peu mieux utile pour refroidir (radiateurs à eau).

7. Limites de la loi de Fourier

Supposée valide pour des milieux continus et homogènes,
Devient fausse à très basse température (effets quantiques),
Nécessite que le système soit proche de l'équilibre local.

Conduction Thermique / Loi de Fourrier

La conduction thermique est un mode de transfert d'énergie sans déplacement global de matière. Elle intervient dans les solides, les liquides au repos et parfois dans les gaz.

La loi fondamentale qui régit la conduction est :

\boxed{q = -\lambda \frac{dT}{dx}}

où :

$q$ : flux thermique (W/m²),
$\lambda$ : conductivité thermique (W/m/K),
$\frac{dT}{dx}$ : gradient de température (K/m).

C'est la loi de Fourier : la chaleur s'écoule des zones chaudes vers les zones froides, proportionnellement au gradient de température.

1. Origine physique de la conduction

La conduction est due :

Aux vibrations atomiques (solides),
Aux chocs moléculaires (gaz, liquides).

Quand une extrémité d'un matériau est chauffée, les particules vibrent plus fortement, transmettant l'énergie à leurs voisines propagation du front de chaleur.

Pas de déplacement macroscopique de matière, seulement propagation de l'agitation thermique.

2. Démonstration de la loi de Fourier

But : relier le flux de chaleur $q$ au gradient de température.

METTRE ILLUSTRATION

Considérons une tranche de matériau :

Épaisseur infinitésimale $dx$ ,
Section $S$ ,
Densité $\rho$ ,
Capacité thermique massique $c$ .

Flux de chaleur :

Flux entrant :

\delta Q_{\mathrm{entrant}} = q(x) \cdot S \cdot dt

Flux sortant :

\delta Q_{\mathrm{sortant}} = q(x+dx) \cdot S \cdot dt

Variation nette :

d(\mathrm{énergie}) = \delta Q_{\mathrm{entrant}} - \delta Q_{\mathrm{sortant}} = -\left(\frac{dq}{dx} \right) S dx\, dt

En même temps, l'énergie stockée est :

d(\mathrm{énergie}) = \rho c S dx \, dT

Égalité des deux expressions :

\rho c \frac{dT}{dt} = -\frac{dq}{dx}

Observation expérimentale : le flux thermique $q$ est proportionnel au gradient de température :

\boxed{q = -\lambda \frac{dT}{dx}}

avec $\lambda$ la conductivité thermique.

La loi de Fourier est donc expérimentale, mais cohérente avec la conservation locale de l'énergie.

3. Formule simplifiée (température linéaire)

Si la température varie linéairement à travers une épaisseur $e$ :

q = \lambda \frac{\Delta T}{e}

Quantité de chaleur échangée sur une surface $S$ pendant $\Delta t$ :

Q = q \times S \times \Delta t

Exemple : un mur d'épaisseur $0{,}2\,m$ avec une différence de température de $10\,K$ et $\lambda = 1{,}5\,\text{W/m/K}$ .

Flux thermique :

q = 1{,}5 \times \frac{10}{0{,}2} = 75\,\mathrm{W/m}^2

4. Conductivité thermique de quelques matériaux

Matériau	Conductivité $\lambda$ (W·m $^{-1}$ ·K $^{-1}$ )
Cuivre	400
Aluminium	240
Acier	50
Eau liquide	0,6
Air (au repos)	0,026
Laine de verre	0,04

Plus $\lambda$ est grand, plus le matériau conduit bien la chaleur. Les isolants thermiques (laine, polystyrène) ont une conductivité très faible.

5. Résistance thermique

En thermique une analogie des échanges thermiques peuvent être faits avec l'électricité, on appelle cela : l’Analogie Électrique de l’Échange Thermique

On définit la résistance thermique d'une paroi :

\boxed{R = \frac{e}{\lambda}}

où :

$e$ : épaisseur (m),
$\lambda$ : conductivité thermique.

Le flux est alors :

\boxed{q = \frac{\Delta T}{R}}

METTRE ILLUSTRATION ?

Mur composite : pour plusieurs couches, on additionne les résistances :

R_{\mathrm{total}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots

Puis :

\boxed{q = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}}}

Exactement comme pour des résistances électriques en série !

6. Conduction dans les liquides et gaz

Même formule : $q = -\lambda \frac{dT}{dx}$ ,
Mais $\lambda$ est beaucoup plus petit que dans les solides,
Conduction thermique très lente.

Exemples :

L'air est un mauvais conducteur utilisé pour l'isolation,
L'eau conduit un peu mieux utile pour refroidir (radiateurs à eau).

7. Limites de la loi de Fourier

Supposée valide pour des milieux continus et homogènes,
Devient fausse à très basse température (effets quantiques),
Nécessite que le système soit proche de l'équilibre local.