Énergie Interne

L'énergie interne est la somme des énergies microscopiques contenues dans un système : mouvements de translation, rotation, vibration des particules, ainsi que leurs interactions.

C'est une fonction d'état en thermodynamique, essentielle pour décrire les échanges d'énergie.

Toute transformation thermique ou mécanique affecte l'énergie interne.

1. Énergie interne d'un gaz parfait

Un gaz parfait est un gaz idéal dans lequel :

Les particules sont ponctuelles et sans interaction mutuelle,
L'énergie interne est entièrement cinétique (translation, rotation, vibration). Dans un gaz parfait, l'énergie interne $U$ ne dépend que de la température $T$ . Elle ne dépend ni du volume, ni de la pression.

Démonstration de la dépendance à $T$

Pour une particule de masse $m$ , la mécanique statistique donne :

\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k_B T

où $\overline{v^2}$ est la moyenne quadratique des vitesses, et $k_B$ est la constante de Boltzmann.

Donc l'énergie cinétique moyenne par particule est :

E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{3}{2} k_B T

Pour $N$ particules :

U = N \times E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{3}{2} N k_B T

Sachant que $N = n N_A$ et que $R = N_A k_B$ , on obtient :

\boxed{U = \frac{3}{2} nRT}

Cette relation est générale pour tout gaz parfait monoatomique.

2. Types de gaz parfaits selon les degrés de liberté

Même dans un gaz parfaitgaz parfait, l'énergie interne dépend du nombre de degrés de liberté des particules.

Un degré de liberté est un mode indépendant par lequel une particule peut emmagasiner de l'énergie : mouvement de translation, rotation, vibration, etc.

Selon la structure de la molécule, le nombre total de degrés de liberté change l'énergie interne change aussi.

2.1. Gaz parfait monoatomique : uniquement translation

Exemples : hélium ( $\text{He}$ ), argon ( $\text{Ar}$ ), néon ( $\text{Ne}$ ).

Chaque atome est ponctuel (une simple "bille"). Il peut se déplacer dans les trois directions de l'espace ( (x, y, z) ) indépendamment :

Translation selon $x$
Translation selon $y$
Translation selon $z$

3 degrés de liberté de translation.

Par le théorème d'équipartition de l'énergie : Chaque degré de liberté reçoit une énergie moyenne $\frac{1}{2}k_BT$ .

Donc énergie cinétique moyenne par particule :

\boxed{E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{3}{2}k_BT}

Et pour $N$ particules :

\boxed{U = \frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} nRT}

Pour un gaz parfait monoatomique, toute l'énergie interne est cinétique de translation.

2.2. Gaz parfait diatomique : translation + rotation

Exemples : $\text{O}_2$ , $\text{N}_2$ , $\text{H}_2$ .

La molécule est composée de deux atomes liés : c'est comme un petit haltère.

Elle peut :

se déplacer dans $x, y, z$ 3 translations
tourner autour d'axes perpendiculaires à l'axe de liaison (deux axes possibles)

Rotation autour de l'axe de liaison est négligée (moment d'inertie trop faible).

Donc en tout :

3 translations
2 rotations

5 degrés de liberté.

Par le théorème d'équipartition : Chaque degré de liberté reçoit $\frac{1}{2}k_BT$ .

Donc énergie cinétique moyenne par particule :

\boxed{E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{5}{2}k_BT}

Et pour $N$ particules :

\boxed{U = \frac{5}{2} N k_B T = \frac{5}{2} nRT}

À basse température, seules les translations et rotations sont actives ; à plus haute température, les vibrations s'activent et apportent des degrés de liberté supplémentaires.

3. Variation d'énergie interne pour un gaz parfait

À volume constant, la variation d'énergie interne pour un gaz parfait est proportionnelle à la variation de température :

\boxed{\Delta U = nC_v (T_f - T_i)}

où :

$C_v$ : capacité thermique molaire à volume constant
$T_i, T_f$ : températures initiale et finale

Énergie Interne

L'énergie interne est la somme des énergies microscopiques contenues dans un système : mouvements de translation, rotation, vibration des particules, ainsi que leurs interactions.

C'est une fonction d'état en thermodynamique, essentielle pour décrire les échanges d'énergie.

Toute transformation thermique ou mécanique affecte l'énergie interne.

1. Énergie interne d'un gaz parfait

Un gaz parfait est un gaz idéal dans lequel :

Les particules sont ponctuelles et sans interaction mutuelle,
L'énergie interne est entièrement cinétique (translation, rotation, vibration). Dans un gaz parfait, l'énergie interne $U$ ne dépend que de la température $T$ . Elle ne dépend ni du volume, ni de la pression.

Démonstration de la dépendance à $T$

Pour une particule de masse $m$ , la mécanique statistique donne :

\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k_B T

où $\overline{v^2}$ est la moyenne quadratique des vitesses, et $k_B$ est la constante de Boltzmann.

Donc l'énergie cinétique moyenne par particule est :

E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{3}{2} k_B T

Pour $N$ particules :

U = N \times E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{3}{2} N k_B T

Sachant que $N = n N_A$ et que $R = N_A k_B$ , on obtient :

\boxed{U = \frac{3}{2} nRT}

Cette relation est générale pour tout gaz parfait monoatomique.

2. Types de gaz parfaits selon les degrés de liberté

Même dans un gaz parfaitgaz parfait, l'énergie interne dépend du nombre de degrés de liberté des particules.

Un degré de liberté est un mode indépendant par lequel une particule peut emmagasiner de l'énergie : mouvement de translation, rotation, vibration, etc.

Selon la structure de la molécule, le nombre total de degrés de liberté change l'énergie interne change aussi.

2.1. Gaz parfait monoatomique : uniquement translation

Exemples : hélium ( $\text{He}$ ), argon ( $\text{Ar}$ ), néon ( $\text{Ne}$ ).

Chaque atome est ponctuel (une simple "bille"). Il peut se déplacer dans les trois directions de l'espace ( (x, y, z) ) indépendamment :

Translation selon $x$
Translation selon $y$
Translation selon $z$

3 degrés de liberté de translation.

Par le théorème d'équipartition de l'énergie : Chaque degré de liberté reçoit une énergie moyenne $\frac{1}{2}k_BT$ .

Donc énergie cinétique moyenne par particule :

\boxed{E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{3}{2}k_BT}

Et pour $N$ particules :

\boxed{U = \frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} nRT}

Pour un gaz parfait monoatomique, toute l'énergie interne est cinétique de translation.

2.2. Gaz parfait diatomique : translation + rotation

Exemples : $\text{O}_2$ , $\text{N}_2$ , $\text{H}_2$ .

La molécule est composée de deux atomes liés : c'est comme un petit haltère.

Elle peut :

se déplacer dans $x, y, z$ 3 translations
tourner autour d'axes perpendiculaires à l'axe de liaison (deux axes possibles)

Rotation autour de l'axe de liaison est négligée (moment d'inertie trop faible).

Donc en tout :

3 translations
2 rotations

5 degrés de liberté.

Par le théorème d'équipartition : Chaque degré de liberté reçoit $\frac{1}{2}k_BT$ .

Donc énergie cinétique moyenne par particule :

\boxed{E_c^{\mathrm{moyenne}} = \frac{5}{2}k_BT}

Et pour $N$ particules :

\boxed{U = \frac{5}{2} N k_B T = \frac{5}{2} nRT}

À basse température, seules les translations et rotations sont actives ; à plus haute température, les vibrations s'activent et apportent des degrés de liberté supplémentaires.

3. Variation d'énergie interne pour un gaz parfait

À volume constant, la variation d'énergie interne pour un gaz parfait est proportionnelle à la variation de température :

\boxed{\Delta U = nC_v (T_f - T_i)}

où :

$C_v$ : capacité thermique molaire à volume constant
$T_i, T_f$ : températures initiale et finale

Énergie Interne

1. Énergie interne d'un gaz parfait

Démonstration de la dépendance à TTT

2. Types de gaz parfaits selon les degrés de liberté

2.1. Gaz parfait monoatomique : uniquement translation

2.2. Gaz parfait diatomique : translation + rotation

3. Variation d'énergie interne pour un gaz parfait

Énergie Interne

1. Énergie interne d'un gaz parfait

Démonstration de la dépendance à TTT

2. Types de gaz parfaits selon les degrés de liberté

2.1. Gaz parfait monoatomique : uniquement translation

2.2. Gaz parfait diatomique : translation + rotation

3. Variation d'énergie interne pour un gaz parfait

Démonstration de la dépendance à $T$

Démonstration de la dépendance à $T$