Constante de Stefan-Boltzmann

La constante de Stefan-Boltzmann $\sigma$ intervient dans la loi de Stefan-Boltzmann qui relie la puissance émise par un corps noir à sa température absolue :

\boxed{P = \sigma A T^4}

où :

$P$ : puissance totale rayonnée (W),
$A$ : surface émissive (m²),
$T$ : température absolue (K),
$\sigma$ : constante de Stefan-Boltzmann (W/m²/K⁴).

Cette loi montre que l'énergie rayonnée augmente très fortement avec la température.

1. Expression théorique de $\sigma$

La constante $\sigma$ n'est pas empirique : elle découle directement du spectre du corps noir décrit par la loi de Planck :

L'intensité spectrale du rayonnement (par fréquence) est donnée par :

I(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1}

où :

$h$ : constante de Planck,
$\nu$ : fréquence (Hz),
$c$ : vitesse de la lumière,
$k_B$ : constante de Boltzmann,
$T$ : température (K).

2. Démonstration de la constante

2.1. Puissance totale rayonnée

On cherche la puissance totale émise par unité de surface :

q = \int_0^{+\infty} I(\nu, T)\,d\nu

Substitution :

q = \int_0^{+\infty} \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} d\nu

2.2. Changement de variable

Posons :

x = \frac{h\nu}{k_B T} \quad \Rightarrow \quad \nu = \frac{k_B T}{h}x \quad \mathrm{et} \quad d\nu = \frac{k_B T}{h} dx

On obtient :

q = \frac{2(k_B T)^4}{h^3 c^2} \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} dx

2.3. Valeur de l'intégrale

Il est connu que :

\int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}

D'où :

q = \frac{2\pi^4 k_B^4}{15 h^3 c^2} T^4

2.4. Expression finale

La constante de Stefan-Boltzmann est donc :

\boxed{\sigma = \frac{2\pi^4 k_B^4}{15h^3c^2}}

Sa valeur numérique :

\boxed{\sigma = 5{,}670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W/m}^2\mathrm{/K}^4}

3. Résumé rapide

Élément	Expression
Loi de Stefan–Boltzmann	$P = \sigma\,A\,T^{4}$
Expression théorique de $\sigma$	$\displaystyle \sigma = \frac{2\pi^{5}k^{4}}{15\,h^{3}c^{2}}$
Valeur numérique	$\sigma = 5{,}670\,\times\,10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$

Constante de Stefan-Boltzmann

La constante de Stefan-Boltzmann $\sigma$ intervient dans la loi de Stefan-Boltzmann qui relie la puissance émise par un corps noir à sa température absolue :

\boxed{P = \sigma A T^4}

où :

$P$ : puissance totale rayonnée (W),
$A$ : surface émissive (m²),
$T$ : température absolue (K),
$\sigma$ : constante de Stefan-Boltzmann (W/m²/K⁴).

Cette loi montre que l'énergie rayonnée augmente très fortement avec la température.

1. Expression théorique de $\sigma$

La constante $\sigma$ n'est pas empirique : elle découle directement du spectre du corps noir décrit par la loi de Planck :

L'intensité spectrale du rayonnement (par fréquence) est donnée par :

I(\nu, T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1}

où :

$h$ : constante de Planck,
$\nu$ : fréquence (Hz),
$c$ : vitesse de la lumière,
$k_B$ : constante de Boltzmann,
$T$ : température (K).

2. Démonstration de la constante

2.1. Puissance totale rayonnée

On cherche la puissance totale émise par unité de surface :

q = \int_0^{+\infty} I(\nu, T)\,d\nu

Substitution :

q = \int_0^{+\infty} \frac{2h\nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} d\nu

2.2. Changement de variable

Posons :

x = \frac{h\nu}{k_B T} \quad \Rightarrow \quad \nu = \frac{k_B T}{h}x \quad \mathrm{et} \quad d\nu = \frac{k_B T}{h} dx

On obtient :

q = \frac{2(k_B T)^4}{h^3 c^2} \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} dx

2.3. Valeur de l'intégrale

Il est connu que :

\int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^4}{15}

D'où :

q = \frac{2\pi^4 k_B^4}{15 h^3 c^2} T^4

2.4. Expression finale

La constante de Stefan-Boltzmann est donc :

\boxed{\sigma = \frac{2\pi^4 k_B^4}{15h^3c^2}}

Sa valeur numérique :

\boxed{\sigma = 5{,}670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W/m}^2\mathrm{/K}^4}

3. Résumé rapide

Élément	Expression
Loi de Stefan–Boltzmann	$P = \sigma\,A\,T^{4}$
Expression théorique de $\sigma$	$\displaystyle \sigma = \frac{2\pi^{5}k^{4}}{15\,h^{3}c^{2}}$
Valeur numérique	$\sigma = 5{,}670\,\times\,10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$

Constante de Stefan-Boltzmann

1. Expression théorique de σ\sigmaσ

2. Démonstration de la constante

2.1. Puissance totale rayonnée

2.2. Changement de variable

2.3. Valeur de l'intégrale

2.4. Expression finale

3. Résumé rapide

Constante de Stefan-Boltzmann

1. Expression théorique de σ\sigmaσ

2. Démonstration de la constante

2.1. Puissance totale rayonnée

2.2. Changement de variable

2.3. Valeur de l'intégrale

2.4. Expression finale

3. Résumé rapide

1. Expression théorique de $\sigma$

1. Expression théorique de $\sigma$