Loi de Stefan-Boltzmann

La loi de Stefan-Boltzmann décrit comment un corps chaud émet de l'énergie thermique sous forme de rayonnement électromagnétique.

Elle donne la puissance rayonnée en fonction de la température absolue $T$ de la surface.

La formule fondamentale est :

\boxed{P = \sigma \epsilon A T^4}

où :

$P$ : puissance totale rayonnée (W),
$\sigma = 5{,}670 \times 10^{-8}\,\text{W/m}^2\text{/K}^4$ : constante de Stefan-Boltzmann,
$\epsilon$ : émissivité de la surface (entre 0 et 1),
$A$ : surface émissive (m²),
$T$ : température absolue (K).

Le rayonnement thermique augmente très rapidement avec la température (proportion à $T^4$ ).

1. Origine de la loi

La loi est une conséquence directe de la théorie du corps noir :

Un corps noir parfait absorbe et émet tout le rayonnement électromagnétique incident.
Les objets réels ont une émissivité $\epsilon < 1$ , selon leur nature de surface.

METTRE IMAGE longueur d'onde

Plus un corps est chaud, plus il rayonne fortement, et son rayonnement se déplace vers des longueurs d'onde plus courtes (infrarouge lumière visible).

2. Flux thermique rayonné

Le flux thermique émis par unité de surface est :

\boxed{q = \sigma \epsilon T^4}

où :

$q$ : flux thermique (W/m²).

Cela représente l'intensité énergétique du rayonnement sortant par mètre carré.

Attention : $q$ est une densité de puissance, pas une puissance totale.

3. Rayonnement net entre deux corps

Quand deux surfaces échangent du rayonnement, le bilan net est :

\boxed{P_{\mathrm{net}} = \sigma \epsilon A (T_s^4 - T_e^4)}

où :

$T_s$ : température de la surface,
$T_e$ : température de l'environnement.

Cas possibles :

Si $T_s > T_e$ , la surface perd de l'énergie.
Si $T_s < T_e$ , la surface gagne de l'énergie.

4. Exemple de calcul

Un panneau noir ( $\epsilon = 1$ ) de $A = 2\,\text{m}^2$ est à $400\,K$ dans une pièce à $300\,K$ .

Puissance nette :

P_{\mathrm{net}} = \sigma A (T_s^4 - T_e^4)

Calcul intermédiaire :

$400^4 = 2{,}56 \times 10^{10}$ ,
$300^4 = 8{,}1 \times 10^9$ ,
$400^4 - 300^4 = 1{,}75 \times 10^{10}$ .

Donc :

P_{\mathrm{net}} = 5{,}670 \times 10^{-8} \times 2 \times 1{,}75 \times 10^{10} \approx 1985\,\mathrm{W}

Le panneau perd presque 2 kilowatts par rayonnement.

5. Facteurs influençant le rayonnement

Facteur	Effet sur le rayonnement
Température $T$	Augmente très fortement (puissance 4)
Émissivité $\epsilon$	Un corps noir ( $\epsilon = 1$ ) rayonne au maximum
Surface $A$	Plus grande surface → plus de rayonnement

Les matériaux noirs et mats sont de très bons émetteurs ; les métaux polis sont de mauvais émetteurs.

6. Application dans l'espace

Dans l'espace (vide), seul le rayonnement permet les échanges thermiques, car :

Il n'y a pas de conduction,
Il n'y a pas de convection.

Les satellites doivent gérer leur température uniquement par rayonnement :

Émissions contrôlées (panneaux radiatifs),
Écrans thermiques.

Le rayonnement est vital dans les technologies spatiales.

7. Récapitulatif des formules

Formule	Signification
$P = \sigma\,\epsilon\,A\,T^{4}$	Puissance totale rayonnée
$q = \sigma\,\epsilon\,T^{4}$	Flux surfacique rayonné
$P_{\text{net}} = \sigma\,\epsilon\,A\,(T_s^{4} - T_e^{4})$	Puissance nette échangée par rayonnement

Loi de Stefan-Boltzmann

La loi de Stefan-Boltzmann décrit comment un corps chaud émet de l'énergie thermique sous forme de rayonnement électromagnétique.

Elle donne la puissance rayonnée en fonction de la température absolue $T$ de la surface.

La formule fondamentale est :

\boxed{P = \sigma \epsilon A T^4}

où :

$P$ : puissance totale rayonnée (W),
$\sigma = 5{,}670 \times 10^{-8}\,\text{W/m}^2\text{/K}^4$ : constante de Stefan-Boltzmann,
$\epsilon$ : émissivité de la surface (entre 0 et 1),
$A$ : surface émissive (m²),
$T$ : température absolue (K).

Le rayonnement thermique augmente très rapidement avec la température (proportion à $T^4$ ).

1. Origine de la loi

La loi est une conséquence directe de la théorie du corps noir :

Un corps noir parfait absorbe et émet tout le rayonnement électromagnétique incident.
Les objets réels ont une émissivité $\epsilon < 1$ , selon leur nature de surface.

METTRE IMAGE longueur d'onde

Plus un corps est chaud, plus il rayonne fortement, et son rayonnement se déplace vers des longueurs d'onde plus courtes (infrarouge lumière visible).

2. Flux thermique rayonné

Le flux thermique émis par unité de surface est :

\boxed{q = \sigma \epsilon T^4}

où :

$q$ : flux thermique (W/m²).

Cela représente l'intensité énergétique du rayonnement sortant par mètre carré.

Attention : $q$ est une densité de puissance, pas une puissance totale.

3. Rayonnement net entre deux corps

Quand deux surfaces échangent du rayonnement, le bilan net est :

\boxed{P_{\mathrm{net}} = \sigma \epsilon A (T_s^4 - T_e^4)}

où :

$T_s$ : température de la surface,
$T_e$ : température de l'environnement.

Cas possibles :

Si $T_s > T_e$ , la surface perd de l'énergie.
Si $T_s < T_e$ , la surface gagne de l'énergie.

4. Exemple de calcul

Un panneau noir ( $\epsilon = 1$ ) de $A = 2\,\text{m}^2$ est à $400\,K$ dans une pièce à $300\,K$ .

Puissance nette :

P_{\mathrm{net}} = \sigma A (T_s^4 - T_e^4)

Calcul intermédiaire :

$400^4 = 2{,}56 \times 10^{10}$ ,
$300^4 = 8{,}1 \times 10^9$ ,
$400^4 - 300^4 = 1{,}75 \times 10^{10}$ .

Donc :

P_{\mathrm{net}} = 5{,}670 \times 10^{-8} \times 2 \times 1{,}75 \times 10^{10} \approx 1985\,\mathrm{W}

Le panneau perd presque 2 kilowatts par rayonnement.

5. Facteurs influençant le rayonnement

Facteur	Effet sur le rayonnement
Température $T$	Augmente très fortement (puissance 4)
Émissivité $\epsilon$	Un corps noir ( $\epsilon = 1$ ) rayonne au maximum
Surface $A$	Plus grande surface → plus de rayonnement

Les matériaux noirs et mats sont de très bons émetteurs ; les métaux polis sont de mauvais émetteurs.

6. Application dans l'espace

Dans l'espace (vide), seul le rayonnement permet les échanges thermiques, car :

Il n'y a pas de conduction,
Il n'y a pas de convection.

Les satellites doivent gérer leur température uniquement par rayonnement :

Émissions contrôlées (panneaux radiatifs),
Écrans thermiques.

Le rayonnement est vital dans les technologies spatiales.

7. Récapitulatif des formules

Formule	Signification
$P = \sigma\,\epsilon\,A\,T^{4}$	Puissance totale rayonnée
$q = \sigma\,\epsilon\,T^{4}$	Flux surfacique rayonné
$P_{\text{net}} = \sigma\,\epsilon\,A\,(T_s^{4} - T_e^{4})$	Puissance nette échangée par rayonnement