Variation de l'Énergie Interne

La variation d'énergie interne est un concept fondamental en thermodynamique : elle décrit comment l'énergie contenue dans un système évolue lorsque la température change ou lorsqu'il échange du travail ou de la chaleur avec l'extérieur.

Pour un gaz parfait, l'énergie interne dépend uniquement de la température, ce qui simplifie fortement son calcul.

1. Expression de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

À volume constant, la variation d'énergie interne d'un gaz parfait est proportionnelle à la variation de température :

\boxed{\Delta U = nC_v (T_f - T_i)}

où :

$\Delta U$ : variation d'énergie interne (J),
$C_v$ : capacité thermique molaire à volume constant (J·mol $^{-1}$ ·K $^{-1}$ ),
$T_i, T_f$ : températures initiale et finale (K),
$n$ : quantité de matière (mol).

Cette formule est valide tant que $C_v$ peut être considéré constant sur l'intervalle de température.

2. Démonstration de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

On sait que pour un gaz parfait, l'énergie interne est fonction uniquement de la température :

U = f(T)

En particulier, pour un gaz parfait avec $f$ degrés de liberté actifs :

U(T) = \frac{f}{2}nRT

où $R$ est la constante des gaz parfaits.

2.1. Définition de $C_v$

La capacité thermique molaire à volume constant est définie par :

C_v = \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{dU}{dT} \right)_V

ce qui implique :

\left( \frac{dU}{dT} \right)_V = n C_v

2.2. Intégration entre deux températures

On intègre entre $T_i$ et $T_f$ :

\Delta U = \int_{T_i}^{T_f} \left( \frac{dU}{dT} \right)_V dT = \int_{T_i}^{T_f} n C_v dT

Si $C_v$ est constant (hypothèse valable pour un gaz parfait), on peut le sortir de l'intégrale :

\Delta U = n C_v \int_{T_i}^{T_f} dT = n C_v (T_f - T_i)

2.3. Résultat obtenu

On obtient finalement :

\boxed{\Delta U = n C_v (T_f - T_i)}

La variation d'énergie interne est directement proportionnelle à la variation de température, via la constante $C_v$ pour un gaz parfait.

2.4. Valeurs classiques pour les gaz parfaits

Gaz parfait monoatomique :

C_v = \frac{3}{2}R

Gaz parfait diatomique (sans vibration) :

C_v = \frac{5}{2}R

Ces valeurs viennent du nombre de degrés de liberté actifs pour chaque type de molécule.

3. Exemple illustratif

Un gaz parfait monoatomique ( $n = 2\,\text{mol}$ ) est chauffé de $T_i = 300\,K$ à $T_f = 600\,K$ .

On utilise : $C_v = \frac{3}{2}R$

Calculons :

\Delta U = 2 \times \frac{3}{2}R \times (600 - 300) = 3R \times 300

Avec $R = 8{,}314\,\text{J·mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ :

\Delta U \approx 3 \times 8{,}314 \times 300 \approx 7482\,\mathrm{J}

Toute la chaleur reçue est convertie en augmentation de l'agitation thermique des particules.

4. Lien avec le premier principe de la thermodynamique

Le premier principe de la thermodynamique relie la variation d'énergie interne $\Delta U$ à la chaleur échangée $Q$ et au travail $W$ :

\Delta U = Q - W

Cas particuliers :

Transformation isochore : $W = 0$ $\Delta U = Q$ .
Transformation adiabatique : $Q = 0$ $\Delta U = -W$ .

Comprendre la variation d'énergie interne est indispensable pour établir les bilans énergétiques d'un système.

5. Remarque : gaz parfait vs gaz réel

Gaz parfait : aucune interaction moléculaire, $U$ dépend uniquement de $T$ .
Gaz réel : $U$ peut dépendre aussi du volume, car les molécules exercent des forces d'attraction ou de répulsion.

À basse température ou à haute pression, un gaz réel ne suit plus exactement $PV = nRT$ . On doit alors utiliser des modèles corrigés (ex : équation de Van der Waals).

Dans cet article, nous avons considéré uniquement les gaz parfaits.

Variation de l'Énergie Interne

Pour un gaz parfait, l'énergie interne dépend uniquement de la température, ce qui simplifie fortement son calcul.

1. Expression de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

À volume constant, la variation d'énergie interne d'un gaz parfait est proportionnelle à la variation de température :

\boxed{\Delta U = nC_v (T_f - T_i)}

où :

$\Delta U$ : variation d'énergie interne (J),
$C_v$ : capacité thermique molaire à volume constant (J·mol $^{-1}$ ·K $^{-1}$ ),
$T_i, T_f$ : températures initiale et finale (K),
$n$ : quantité de matière (mol).

Cette formule est valide tant que $C_v$ peut être considéré constant sur l'intervalle de température.

2. Démonstration de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

On sait que pour un gaz parfait, l'énergie interne est fonction uniquement de la température :

U = f(T)

En particulier, pour un gaz parfait avec $f$ degrés de liberté actifs :

U(T) = \frac{f}{2}nRT

où $R$ est la constante des gaz parfaits.

2.1. Définition de $C_v$

La capacité thermique molaire à volume constant est définie par :

C_v = \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{dU}{dT} \right)_V

ce qui implique :

\left( \frac{dU}{dT} \right)_V = n C_v

2.2. Intégration entre deux températures

On intègre entre $T_i$ et $T_f$ :

\Delta U = \int_{T_i}^{T_f} \left( \frac{dU}{dT} \right)_V dT = \int_{T_i}^{T_f} n C_v dT

Si $C_v$ est constant (hypothèse valable pour un gaz parfait), on peut le sortir de l'intégrale :

\Delta U = n C_v \int_{T_i}^{T_f} dT = n C_v (T_f - T_i)

2.3. Résultat obtenu

On obtient finalement :

\boxed{\Delta U = n C_v (T_f - T_i)}

La variation d'énergie interne est directement proportionnelle à la variation de température, via la constante $C_v$ pour un gaz parfait.

2.4. Valeurs classiques pour les gaz parfaits

Gaz parfait monoatomique :

C_v = \frac{3}{2}R

Gaz parfait diatomique (sans vibration) :

C_v = \frac{5}{2}R

Ces valeurs viennent du nombre de degrés de liberté actifs pour chaque type de molécule.

3. Exemple illustratif

Un gaz parfait monoatomique ( $n = 2\,\text{mol}$ ) est chauffé de $T_i = 300\,K$ à $T_f = 600\,K$ .

On utilise : $C_v = \frac{3}{2}R$

Calculons :

\Delta U = 2 \times \frac{3}{2}R \times (600 - 300) = 3R \times 300

Avec $R = 8{,}314\,\text{J·mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ :

\Delta U \approx 3 \times 8{,}314 \times 300 \approx 7482\,\mathrm{J}

Toute la chaleur reçue est convertie en augmentation de l'agitation thermique des particules.

4. Lien avec le premier principe de la thermodynamique

Le premier principe de la thermodynamique relie la variation d'énergie interne $\Delta U$ à la chaleur échangée $Q$ et au travail $W$ :

\Delta U = Q - W

Cas particuliers :

Transformation isochore : $W = 0$ $\Delta U = Q$ .
Transformation adiabatique : $Q = 0$ $\Delta U = -W$ .

Comprendre la variation d'énergie interne est indispensable pour établir les bilans énergétiques d'un système.

5. Remarque : gaz parfait vs gaz réel

Gaz parfait : aucune interaction moléculaire, $U$ dépend uniquement de $T$ .
Gaz réel : $U$ peut dépendre aussi du volume, car les molécules exercent des forces d'attraction ou de répulsion.

À basse température ou à haute pression, un gaz réel ne suit plus exactement $PV = nRT$ . On doit alors utiliser des modèles corrigés (ex : équation de Van der Waals).

Dans cet article, nous avons considéré uniquement les gaz parfaits.

Variation de l'Énergie Interne

1. Expression de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

2. Démonstration de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

2.1. Définition de CvC_vCv​

2.2. Intégration entre deux températures

2.3. Résultat obtenu

2.4. Valeurs classiques pour les gaz parfaits

3. Exemple illustratif

4. Lien avec le premier principe de la thermodynamique

5. Remarque : gaz parfait vs gaz réel

Variation de l'Énergie Interne

1. Expression de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

2. Démonstration de la variation d'énergie interne pour un gaz parfait

2.1. Définition de CvC_vCv​

2.2. Intégration entre deux températures

2.3. Résultat obtenu

2.4. Valeurs classiques pour les gaz parfaits

3. Exemple illustratif

4. Lien avec le premier principe de la thermodynamique

5. Remarque : gaz parfait vs gaz réel

2.1. Définition de $C_v$

2.1. Définition de $C_v$