Transformation Adiabatique Réversible

Une transformation adiabatique est une transformation thermodynamique au cours de laquelle le système n'échange aucune chaleur avec l'extérieur.

Dans une adiabatique réversible, le système reste toujours au voisinage de l'équilibre et évolue de manière parfaitement contrôlée.

C'est une situation idéale très utilisée dans l'étude des machines thermiques.

1. Définition

Une transformation est transformation adiabatique

si :

\boxed{Q = 0}

Réversible : l'évolution est infinitésimale et parfaitement contrôlée (pas d'irréversibilités internes).
Transformation adiabatique : aucune chaleur $Q$ n'est échangée avec l'extérieur.

D'après le premier principe :

dU = \delta Q - \delta W

mais ici

\delta Q = 0

donc :

\boxed{dU = -\delta W}

2. Démonstration de la loi $PV^\gamma = \text{constante}$

Pour un gaz parfait, on sait que :

U = n C_V T

Donc :

dU = nC_V dT

En même temps, le travail élémentaire $\delta W$ pour une expansion est :

\delta W = P dV

D'où :

n C_V dT = -P dV

Or pour un gaz parfait :

P = \frac{nRT}{V}

Substituons :

n C_V dT = -\frac{nRT}{V} dV

Simplifions $n$ :

C_V dT = -\frac{RT}{V} dV

Séparons les variables :

\frac{dT}{T} = -\frac{R}{C_V} \frac{dV}{V}

Or connaissant les relations entre les Capacité Thermiques ainsi que Gamma :

\gamma = \frac{C_P}{C_V} \quad \mathrm{et} \quad C_P - C_V = R

donc :

\frac{R}{C_V} = \gamma - 1

Ainsi :

\frac{dT}{T} = -(\gamma - 1) \frac{dV}{V}

Intégrons entre deux états (1) et (2) :

\int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T} = -(\gamma-1) \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}

Ce qui donne :

\ln\left( \frac{T_2}{T_1} \right) = -(\gamma-1) \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right)

On peut réarranger :

\ln\left( T_2 V_2^{\gamma-1} \right) = \ln\left( T_1 V_1^{\gamma-1} \right)

Donc :

\boxed{T V^{\gamma-1} = \mathrm{constante}}

En utilisant $PV = nRT$ , on peut aussi obtenir :

\boxed{PV^\gamma = \mathrm{constante}}

Cette relation est typique d'une adiabatique réversible pour un gaz parfait.

3. Résultats utiles

Formule	Interprétation
$P\,V^\gamma = \text{cste}$	Loi de Laplace (adiabatique réversible)
$T\,V^{\gamma - 1} = \text{cste}$	Relation volume–température en adiabatique
$\dfrac{T^\gamma}{P^{\gamma - 1}}=\text{cste}$	Relation pression–température en adiabatique

4. Sens physique

Dans une détente adiabatique réversible, le gaz se refroidit car il travaille sur l'extérieur sans recevoir de chaleur.
Dans une compression adiabatique réversible, le gaz se réchauffe car du travail est effectué sur lui sans perte.

5. Exemple numérique

Un gaz monoatomique (( \gamma = 5/3 $) se détend de$ V_1 = 0,01,m^3 $à$ V_2 = 0,02,m^3$, en adiabatique réversible.

$P_1 = 10^5\,\text{Pa}$ .

La pression finale est donnée par :

P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma

Calcul :

P_2 = 10^5 \times \left( \frac{0{,}01}{0{,}02} \right)^{5/3} \approx 2,5 \times 10^4\,\mathrm{Pa}

La pression chute fortement, typique d'une détente transformation adiabatique.

6. Application : cycle de Carnot

Dans le cycle de Carnot, deux des quatre transformations sont adiabatiques réversibles :

Une détente transformation adiabatique (refroidissement sans échange de chaleur),
Une compression adiabatique (réchauffement sans échange de chaleur).

Transformation Adiabatique Réversible

Une transformation adiabatique est une transformation thermodynamique au cours de laquelle le système n'échange aucune chaleur avec l'extérieur.

Dans une adiabatique réversible, le système reste toujours au voisinage de l'équilibre et évolue de manière parfaitement contrôlée.

C'est une situation idéale très utilisée dans l'étude des machines thermiques.

1. Définition

Une transformation est transformation adiabatique

si :

\boxed{Q = 0}

Réversible : l'évolution est infinitésimale et parfaitement contrôlée (pas d'irréversibilités internes).
Transformation adiabatique : aucune chaleur $Q$ n'est échangée avec l'extérieur.

D'après le premier principe :

dU = \delta Q - \delta W

mais ici

\delta Q = 0

donc :

\boxed{dU = -\delta W}

2. Démonstration de la loi $PV^\gamma = \text{constante}$

Pour un gaz parfait, on sait que :

U = n C_V T

Donc :

dU = nC_V dT

En même temps, le travail élémentaire $\delta W$ pour une expansion est :

\delta W = P dV

D'où :

n C_V dT = -P dV

Or pour un gaz parfait :

P = \frac{nRT}{V}

Substituons :

n C_V dT = -\frac{nRT}{V} dV

Simplifions $n$ :

C_V dT = -\frac{RT}{V} dV

Séparons les variables :

\frac{dT}{T} = -\frac{R}{C_V} \frac{dV}{V}

Or connaissant les relations entre les Capacité Thermiques ainsi que Gamma :

\gamma = \frac{C_P}{C_V} \quad \mathrm{et} \quad C_P - C_V = R

donc :

\frac{R}{C_V} = \gamma - 1

Ainsi :

\frac{dT}{T} = -(\gamma - 1) \frac{dV}{V}

Intégrons entre deux états (1) et (2) :

\int_{T_1}^{T_2} \frac{dT}{T} = -(\gamma-1) \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}

Ce qui donne :

\ln\left( \frac{T_2}{T_1} \right) = -(\gamma-1) \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right)

On peut réarranger :

\ln\left( T_2 V_2^{\gamma-1} \right) = \ln\left( T_1 V_1^{\gamma-1} \right)

Donc :

\boxed{T V^{\gamma-1} = \mathrm{constante}}

En utilisant $PV = nRT$ , on peut aussi obtenir :

\boxed{PV^\gamma = \mathrm{constante}}

Cette relation est typique d'une adiabatique réversible pour un gaz parfait.

3. Résultats utiles

Formule	Interprétation
$P\,V^\gamma = \text{cste}$	Loi de Laplace (adiabatique réversible)
$T\,V^{\gamma - 1} = \text{cste}$	Relation volume–température en adiabatique
$\dfrac{T^\gamma}{P^{\gamma - 1}}=\text{cste}$	Relation pression–température en adiabatique

4. Sens physique

Dans une détente adiabatique réversible, le gaz se refroidit car il travaille sur l'extérieur sans recevoir de chaleur.
Dans une compression adiabatique réversible, le gaz se réchauffe car du travail est effectué sur lui sans perte.

5. Exemple numérique

Un gaz monoatomique (( \gamma = 5/3 $) se détend de$ V_1 = 0,01,m^3 $à$ V_2 = 0,02,m^3$, en adiabatique réversible.

$P_1 = 10^5\,\text{Pa}$ .

La pression finale est donnée par :

P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma

Calcul :

P_2 = 10^5 \times \left( \frac{0{,}01}{0{,}02} \right)^{5/3} \approx 2,5 \times 10^4\,\mathrm{Pa}

La pression chute fortement, typique d'une détente transformation adiabatique.

6. Application : cycle de Carnot

Dans le cycle de Carnot, deux des quatre transformations sont adiabatiques réversibles :

Une détente transformation adiabatique (refroidissement sans échange de chaleur),
Une compression adiabatique (réchauffement sans échange de chaleur).

Transformation Adiabatique Réversible

1. Définition

2. Démonstration de la loi PVγ=constantePV^\gamma = \text{constante}PVγ=constante

3. Résultats utiles

4. Sens physique

5. Exemple numérique

6. Application : cycle de Carnot

Transformation Adiabatique Réversible

1. Définition

2. Démonstration de la loi PVγ=constantePV^\gamma = \text{constante}PVγ=constante

3. Résultats utiles

4. Sens physique

5. Exemple numérique

6. Application : cycle de Carnot

2. Démonstration de la loi $PV^\gamma = \text{constante}$

2. Démonstration de la loi $PV^\gamma = \text{constante}$