Le Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes relie une intégrale de surface (qui mesure le flux d'un champ vectoriel à travers une surface) à une intégrale de ligne (qui mesure la circulation du champ autour du bord de cette surface).

Plus précisément, il permet de relier l'intégrale d'un rotationnel d'un champ vectoriel à l'intégrale de ce champ le long du bord de la surface qu'il traverse.

De ce théorème dérive le théorème de Green ainsi que théorème de Gauss aussi connu sous le nom de théorème de la divergence.

Matériellement, ce théorème est très utile pour relier des concepts de flux et de circulation dans des contextes où les champs de force, comme ceux du magnétisme ou des fluides, sont présents.

1. Formulation du Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes s'écrit sous la forme suivante :

\boxed{\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A},}

où :

$\mathbf{F}$ est un champ vectoriel,
$\partial S$ est le bord de la surface $S$ ,
$d\mathbf{r}$ est un élément de courbe le long du bord $\partial S$ ,
$\nabla \times \mathbf{F}$ est le rotationnel du champ $\mathbf{F}$ ,
$d\mathbf{A}$ est un élément de surface normal à $S$ .

Explication des termes :

Intégrale de ligne : $\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ représente la circulation du champ $\mathbf{F}$ le long du bord $\partial S$ . C'est une mesure de l'effet de $\mathbf{F}$ autour de cette courbe.
Intégrale de surface : $\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}$ représente l'intégrale du rotationnel du champ $\mathbf{F}$ sur la surface $S$ , ce qui peut être interprété comme la quantité de "tourbillon" ou de "rotation" générée par le champ à travers cette surface.

2. Interprétation Physique du Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes a une interprétation physique puissante, notamment dans les phénomènes de circulation et de tourbillons. En termes simples :

Circulation : L'intégrale de ligne à gauche du théorème mesure la quantité de circulation du champ autour d'un contour fermé. Par exemple, dans un champ de vitesse de fluide, cela correspond à la quantité de fluide qui "tourne" autour de ce contour.
Rotationnel : L'intégrale de surface à droite mesure la quantité de "tourbillon" dans le champ à travers la surface. Cela peut être vu comme une mesure de l'intensité de la rotation du fluide dans un petit volume autour de chaque point de la surface.

Exemple de physique : En mécanique des fluides, si un fluide s'écoule à travers une surface, le rotationnel du champ de vitesse $\nabla \times \mathbf{v}$ mesure la "rotation" ou le tourbillon du fluide. Le théorème de Stokes relie cette rotation à la circulation du fluide le long du bord de la surface.

3. Démonstration du Théorème de Stokes

3.1. Visualisation et Introduction Mathématique

Imaginez un étang calme où, sur une petite portion de l'eau délimitée par un contour imaginaire infinitésimal $\partial dS$ , se forme un léger tourbillon. Visualisez un petit bateau naviguant précisément le long de ce petit cercle : ce trajet représente la circulation locale du champ vectoriel, notée :

\oint_{\partial dS} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

Ce petit cercle est le bord d'un élément différentiel de surface $dS$ , qui possède une petite aire associée avec un vecteur normal $d\mathbf{A}$ .

3.2. Contributions Locales et Notion de Rotationnel

Dans chaque élément $dS$ de l'étang, la force locale de rotation est mesurée par le rotationnel $\nabla \times \mathbf{F}$ .

La contribution de cette rotation dans l'élément $dS$ s'exprime mathématiquement par :

(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}.

Ici, $d\mathbf{A}$ est souvent écrit sous la forme $\mathbf{n}\,dS$ , où $\mathbf{n}$ est la normale à la surface.

3.3. Passage de l'Échelle Locale à l'Échelle Globale

L'idée fondamentale du théorème de Stokes est de diviser la surface totale $S$ en une multitude de petits éléments $dS$ possédant chacun leur bord $\partial dS$ . Pour chacun de ces petits éléments, on peut écrire l'égalité infinitésimale :

\oint_{\partial dS} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}.

On peut alors « additionner » (intégrer) ces contributions locales sur tous les éléments de $S$ pour passer à l'échelle globale :

La somme des circulations locales le long des bords $\partial dS$ des éléments forme la circulation sur le bord global $\partial S$ de la surface :

\sum \oint_{\partial dS} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \quad \longrightarrow \quad \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

De même, la somme des contributions locales du rotationnel s'intègre sur toute la surface :

\sum (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A} \quad \longrightarrow \quad \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}.

Ainsi, en passant de l'échelle locale à l'échelle globale, nous obtenons le théorème de Stokes dans son intégralité :

\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}.

3.4. Conclusion Didactique et Mathématique

Pour synthétiser :

1. Chaque petit élément $dS$ possède un bord $\partial dS$ sur lequel la circulation locale est mesurée par :

\oint_{\partial dS} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

2. Cette circulation locale équivaut à la contribution du rotationnel à ce point, exprimée par :

(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}.

3. En intégrant sur toute la surface $S$ , la somme des contributions locales forme la circulation globale le long du bord $\partial S$ :

\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}.

Ainsi, l'analogie du bateau sur un étang montre que le mouvement global du bateau le long du contour est exactement la somme des petites forces de rotation exercées localement sur chaque portion $dS$ de l'étang. Cette démarche relie de manière didactique l'intuition visuelle à la rigueur mathématique du théorème de Stokes.