Théorème de la Divergence / Théorème de Gauss

Le Théorème de la Divergence ou Théorème de Gauss

Le théorème de la divergence, également connu sous le nom de théorème de Gauss, dérivé du théorème de stokes, est un résultat clé en analyse vectorielle qui relie le flux d'un champ vectoriel à l'intégrale de sa divergence sur un volume donné. Il est très utilisé pour traiter des problèmes en physique, comme l'étude des champs électriques et magnétiques, ainsi que pour analyser l'écoulement des fluides.

Matériellement, ce théorème stipule que le flux total d'un champ vectoriel à travers la surface d'un volume est égal à l'intégrale de la divergence de ce champ à l'intérieur du volume.

2. Formulation du Théorème de la Divergence

Le théorème de la divergence s'écrit de la manière suivante :

\boxed{\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV,}

où :

$\mathbf{F}$ est un champ vectoriel (par exemple, le champ de vitesse d'un fluide ou le champ électromagnétique),
$S$ est la surface fermée délimitant le volume $V$ ,
$d\mathbf{A}$ est un élément de surface orienté (normal à la surface $S$ ),
$\nabla \cdot \mathbf{F}$ est la divergence du champ $\mathbf{F}$ ,
$dV$ est l'élément de volume dans lequel on intègre la divergence.

L'intégrale à gauche représente le flux du champ $\mathbf{F}$ à travers la surface $S$ du volume $V$ , tandis que l'intégrale à droite exprime la quantité totale de "source" ou de "puits" du champ à l'intérieur du volume, mesurée par la divergence.

3. Interprétation Physique du Théorème

Le théorème de la divergence a une interprétation physique très importante, notamment en ce qui concerne les champs de flux, comme ceux associés aux fluides ou à l'électromagnétisme.

Flux à travers une surface : Le flux d'un champ vectoriel $\mathbf{F}$ à travers une surface $S$ représente la quantité de champ traversant cette surface. Par exemple, dans le cas des fluides, cela pourrait représenter le débit volumique du fluide traversant la surface.
Divergence : La divergence $\nabla \cdot \mathbf{F}$ mesure la "création" ou "annihilation" de la quantité du champ à un point donné. Si la divergence est positive, cela signifie qu'il y a une source du champ à cet endroit (par exemple, une source de fluide ou une charge électrique). Si la divergence est négative, cela signifie qu'il y a un puits du champ (par exemple, une région où le fluide est aspiré ou une charge négative).

Le théorème de la divergence nous dit donc que le flux total à travers la surface est égal à la somme de toutes les sources et puits à l'intérieur du volume délimité par cette surface.

Prenons l'exemple d'un fluide s'écoulant à travers un volume. Imaginons que nous avons un volume $V$ de fluide, et que nous mesurons le flux du fluide à travers la surface $S$ qui délimite ce volume. Si la divergence du champ de vitesse du fluide est positive à un endroit,cela signifie que des fluide est généré à cet endroit (comme une source de fluide), tandis que si la divergence est négative, cela signifie que du fluide est aspiré (comme un puits).

L'intégrale de la divergence du champ de vitesse du fluide sur le volume $V$ donnera la quantité totale de fluide qui est générée ou aspirée à l'intérieur du volume. Le flux total à travers la surface $S$ sera exactement égal à cette quantité générée ou aspirée.

Cela peut se traduire par la relation suivante :

\int_S \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{v} \, dV,

où $\mathbf{v}$ est le champ de vitesse du fluide, $S$ est la surface du volume $V$ , et $\nabla \cdot \mathbf{v}$ représente la divergence du champ de vitesse.

5. Preuve du Théorème de la Divergence

Pour démontrer le théorème de la divergence, nous allons montrer comment le flux total d'un champ vectoriel à travers la surface fermée d'un volume s'exprime comme la somme (intégrale) des contributions locales, c'est-à-dire la divergence, sur l'ensemble du volume.

Soit un champ vectoriel défini par :

\mathbf{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} F_1(x,y,z) \\ F_2(x,y,z) \\ F_3(x,y,z) \end{pmatrix},

et soit $V$ le volume délimité par la surface fermée $S$ orientée vers l'extérieur.

1. Définition du Flux

Le flux $\Phi$ du champ $\mathbf{F}$ à travers la surface $S$ est donné par :

\Phi = \int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{A},

où l'élément de surface vecteur $d\mathbf{A} = \mathbf{n}\,dS$ a une norme égale à l'aire $dS$ et une direction donnée par la normale sortante $\mathbf{n}$ .

2. Découpage du Volume en Éléments Infinitésimaux

Pour analyser le flux de manière locale, on divise le volume $V$ en de très petits parallélépipèdes (éléments de volume) de dimensions $dx$ , $dy$ et $dz$ . Pour un élément centré en $(x,y,z)$ , on note :

dV = dx\,dy\,dz.

Dans cet élément, le champ $\mathbf{F}$ et ses dérivées sont pratiquement constants.

3. Calcul du Flux à Travers un Élément Infinitésimal

Considérons un petit parallélépipède. Nous allons calculer la contribution du flux sortant par rapport à chacune de ses trois directions :

Direction $x$ :

La face située à $x$ a une aire $dy\,dz$ et le flux sortant par cette face est environ $F_1(x,y,z)\,dy\,dz$ . La face opposée, située à $x+dx$ , a le flux entrant (ou sortant en sens opposé) qui vaut environ $F_1(x+dx,y,z)\,dy\,dz$ . Ainsi, le flux net dans la direction $x$ est :

\Delta\Phi_x \approx F_1(x+dx,y,z)\,dy\,dz - F_1(x,y,z)\,dy\,dz.

En appliquant un développement linéaire (approximation de Taylor) :

F_1(x+dx,y,z) \approx F_1(x,y,z) + \frac{\partial F_1}{\partial x}\,dx,

on trouve :

\Delta\Phi_x \approx \frac{\partial F_1}{\partial x}\,dx\,dy\,dz.

Direction $y$ :

De façon similaire, le flux net dans la direction $y$ est :

\Delta\Phi_y \approx \frac{\partial F_2}{\partial y}\,dx\,dy\,dz.

Direction $z$ :

Et pour l'axe $z$ , on obtient :

\Delta\Phi_z \approx \frac{\partial F_3}{\partial z}\,dx\,dy\,dz.

4. Somme des Contributions et Expression Locale de la Divergence

En additionnant les contributions des trois directions pour notre élément :

\Delta\Phi = \Delta\Phi_x + \Delta\Phi_y + \Delta\Phi_z \approx \bigl( \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z} \bigr)\,dx\,dy\,dz.

Par définition, la quantité entre parenthèses est la divergence du champ, c'est-à-dire :

\nabla\!\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.

Nous avons donc pour cet élément :

\Delta\Phi = (\nabla\!\cdot\mathbf{F})\,dV.

5. Passage à l'Intégrale sur Tout le Volume

Pour obtenir le flux total à travers la surface $S$ qui entoure le volume $V$ , il suffit d'additionner (intégrer) toutes les contributions des éléments infinitésimaux.

Or, les flux internes entre éléments voisins s'annulent (le flux sortant d'un élément entre dans l'élément adjacent), et ne subsiste que le flux net à travers la frontière extérieure $S$ . Ainsi :

\int_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{A} = \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.