Le Théorème de Green

Le théorème de Green, un résultat fondamental de l'analyse vectorielle en dimension 2. Il relie une intégrale de ligne le long d'une courbe fermée à une intégrale double sur la région qu'elle délimite. Le théorème de Green est en fait un cas particulier du théorème de Stokes (voir Démonstration du Théorème de Stokes).

1. Introduction

Le théorème de Green permet de transformer une intégrale de ligne difficile à évaluer, qui mesure la circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour fermé, en une intégrale double sur la région plane délimitée par ce contour. Ce théorème trouve des applications variées en physique et en mathématiques (calcul d'aires, études d'écoulements, électromagnétisme, etc.).

2. Énoncé du Théorème de Green

Soit $C$ une courbe simple, fermée et orientée positivement (sens anti-horaire) qui délimite une région $D$ du plan.

Soit le champ de vecteurs défini sur $D$ par :

\mathbf{F}(x,y) = \begin{pmatrix} P(x,y) \\ Q(x,y) \end{pmatrix},

où :

$P(x,y)$ représente la composante horizontale du champ vectoriel,
$Q(x,y)$ représente la composante verticale du champ vectoriel,

et où les fonctions $P$ et $Q$ ainsi que leurs dérivées partielles sont continues sur $D$ .

Le théorème de Green s'énonce alors de la manière suivante :

\boxed{\oint_{C} \big( P\,dx + Q\,dy \big) = \iint_{D} \bigl( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \bigr)\,dx\,dy.}

Le membre de gauche représente la circulation du champ le long du bord $C$ , et celui de droite, l'agrégation des variations locales (le « rotationnel » dans le plan) sur l'ensemble de $D$ .

3. Interprétation Physique

Pour appréhender intuitivement ce théorème :

Circulation (intégrale de ligne) : elle mesure l'effet total, comme la force entraînante ou la rotation, du champ vectoriel le long du contour $C$ .
Rotationnel (intégrale double) : il représente la contribution locale à la rotation ou au tourbillon du champ à l'intérieur de $D$ , exprimée par :

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}.

Ainsi, le théorème de Green établit que la somme de toutes ces contributions locales sur $D$ est exactement égale à la circulation totale observée sur le bord $C$ .

4. Démonstration via le Théorème de Stokes

Le théorème de Green se déduit naturellement du théorème de Stokes appliqué à une surface plane. Rappelons que le théorème de Stokes stipule, pour un champ vectoriel défini sur une surface $S$ en trois dimensions :

\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla\!\times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}.

Pour obtenir le théorème de Green, on considère le domaine $D$ comme une surface $S$ dans le plan $z=0$ et on définit le champ tridimensionnel associé par :

\mathbf{F}(x,y,z) = \begin{pmatrix} P(x,y) \\ Q(x,y) \\ 0 \end{pmatrix}.

Dans ce cas, le calcul du rotationnel donne :

\nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \end{pmatrix}.

L'élément de surface sur le plan est exprimé par :

d\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,dx\,dy.

Ainsi, en appliquant le théorème de Stokes, le membre de droite se transforme en :

\iint_{S} (\nabla\!\times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A} = \iint_{D} \bigl( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \bigr)\,dx\,dy.

Le membre de gauche correspond à l'intégrale de ligne le long du bord $C$ de $D$ :

\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \oint_{C} \big( P\,dx + Q\,dy \big).

En substituant ces deux expressions dans le théorème de Stokes, on retrouve immédiatement l'énoncé du théorème de Green.

5. Exemples et Applications

Exemple 1 : Calcul d'une aire

Prenons le champ vectoriel :

\mathbf{F}(x,y)= \begin{pmatrix} -\dfrac{y}{2} \\ \dfrac{x}{2} \end{pmatrix}.

On calcule alors :

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{2}\right) = \frac12 + \frac12 = 1.

Appliquant le théorème de Green, on obtient :

\oint_{C} \bigl( -\tfrac{y}{2}\,dx + \tfrac{x}{2}\,dy \bigr) = \iint_{D} 1\,dx\,dy.

L'intégrale de droite représente l'aire de $D$ .
Ainsi, la circulation du champ sur $C$ donne directement l'aire de la région.

Exemple 2 : Évaluation de la circulation

Pour un champ quelconque

\mathbf{F}(x,y)= \begin{pmatrix} P(x,y) \\ Q(x,y) \end{pmatrix},

le calcul direct de l'intégrale de ligne peut être complexe si $C$ est irrégulier.

Le théorème de Green permet alors de transformer cette intégrale de ligne en une intégrale double, plus aisée à manipuler, facilitant ainsi les calculs dans des problèmes d'écoulements ou d'électromagnétisme.