Théorème d'Équipartition de l'Énergie

Le théorème d'équipartition de l'énergie est une conséquence fondamentale de la mécanique statistique.

Il affirme que chaque degré de liberté quadratique dans l'énergie d'un système en équilibre thermique contribue en moyenne :

\boxed{\frac{1}{2}k_B T}

à l'énergie totale par particule.

Ce théorème explique pourquoi l'énergie interne dépend directement du nombre de degrés de liberté actifs dans le système.

1. Qu'est-ce qu'un degré de liberté quadratique ?

Une grandeur $x$ intervient dans l'énergie de manière quadratique lorsqu'elle apparaît sous la forme $\frac{1}{2}ax^2$ :

$\frac{1}{2}mv^2$ pour une translation,
$\frac{1}{2}I\omega^2$ pour une rotation,
$\frac{1}{2}kx^2$ pour une vibration.

Chaque degré de liberté quadratique apporte en moyenne une énergie thermique $\frac{1}{2}k_B T$ , à condition d'être activé à la température $T$ .

2. Démonstration rigoureuse (à partir de Boltzmann)

On considère une particule dans un système en équilibre thermique.

D'après la distribution de Boltzmann, la probabilité d'un état d'énergie $E$ est proportionnelle à :

P(E) \propto e^{-E / (k_B T)}

2.1. Exemple : énergie cinétique selon $v_x$

L'énergie cinétique selon l'axe $x$ est :

E_x = \frac{1}{2}mv_x^2

Par Boltzmann :

f(v_x) \propto e^{ - \frac{1}{2} \cdot \frac{m v_x^2}{k_B T} }

Donc $v_x$ suit une loi normale centrée de variance $\sigma^2 = \frac{k_B T}{m}$ .

La moyenne de l'énergie est alors :

\left\langle E_x \right\rangle = \frac{1}{2}m \left\langle v_x^2 \right\rangle = \frac{1}{2}m \sigma^2 = \frac{1}{2}k_B T

2.2. Généralisation

Ce raisonnement s'applique à tout degré de liberté quadratique.

Type	Énergie associée	Contribution moyenne
Translation $v$	$\tfrac12 m v^{2}$	$\tfrac12 k_B T$ par degré de liberté
Rotation $\omega$	$\tfrac12 I \omega^{2}$	$\tfrac12 k_B T$ par axe de rotation
Vibration $x$	$\tfrac12 m v^{2} + \tfrac12 k x^{2}$	$k_B T$ (car 2 termes : cinétique + potentielle)

Chaque variable au carré = un demi $k_B T$ . Une vibration a deux termes quadratiques elle apporte $k_B T$ .

3. Application à l'énergie interne

L'énergie interne $U$ d'un système est la somme des énergies microscopiques de ses particules.

Si une particule possède $f$ degrés de liberté quadratiques, elle a en moyenne :

\langle E \rangle = \frac{f}{2}k_B T

Pour $N$ particules :

\boxed{U = N \cdot \frac{f}{2}k_B T = \frac{f}{2}nRT}

3.1. Gaz parfait monoatomique

3 translations : $f = 3$

U = \frac{3}{2}nRT

3.2. Gaz parfait diatomique (T modérée)

3 translations + 2 rotations : $f = 5$

U = \frac{5}{2}nRT

Les vibrations ne contribuent qu'à haute température.

3.3. Systèmes vibrants

Chaque vibration = 2 degrés de liberté (1 cinétique + 1 potentiel)

Si la vibration est active :

\boxed{E_{\mathrm{vibration}} = k_B T}

4. Limites d'application

Le théorème ne s'applique que si :

Le degré de liberté est de type quadratique,
Il est thermiquement activé à la température $T$ ,
On est dans un cadre classique (pas quantique).

Exemples où il échoue :

Vibrations quantiques : à basse température, elles sont figées ( $k_BT \ll \hbar \omega$ )
Solides à T proche de 0 : capacité thermique chute loi de Debye

En mécanique quantique, la moyenne d'énergie par degré de liberté est inférieure à $\frac{1}{2}k_BT$

5. Exemples numériques

5.1. Hélium (gaz parfait monoatomique) à 300 K

U = \frac{3}{2} \cdot 8{,}314 \cdot 300 \approx 3741\,\mathrm{J/mol}

5.2. Azote N₂ (gaz diatomique) à 300 K

U = \frac{5}{2} \cdot 8{,}314 \cdot 300 \approx 6236\,\mathrm{J/mol}

Théorème d'Équipartition de l'Énergie

Le théorème d'équipartition de l'énergie est une conséquence fondamentale de la mécanique statistique.

Il affirme que chaque degré de liberté quadratique dans l'énergie d'un système en équilibre thermique contribue en moyenne :

\boxed{\frac{1}{2}k_B T}

à l'énergie totale par particule.

Ce théorème explique pourquoi l'énergie interne dépend directement du nombre de degrés de liberté actifs dans le système.

1. Qu'est-ce qu'un degré de liberté quadratique ?

Une grandeur $x$ intervient dans l'énergie de manière quadratique lorsqu'elle apparaît sous la forme $\frac{1}{2}ax^2$ :

$\frac{1}{2}mv^2$ pour une translation,
$\frac{1}{2}I\omega^2$ pour une rotation,
$\frac{1}{2}kx^2$ pour une vibration.

Chaque degré de liberté quadratique apporte en moyenne une énergie thermique $\frac{1}{2}k_B T$ , à condition d'être activé à la température $T$ .

2. Démonstration rigoureuse (à partir de Boltzmann)

On considère une particule dans un système en équilibre thermique.

D'après la distribution de Boltzmann, la probabilité d'un état d'énergie $E$ est proportionnelle à :

P(E) \propto e^{-E / (k_B T)}

2.1. Exemple : énergie cinétique selon $v_x$

L'énergie cinétique selon l'axe $x$ est :

E_x = \frac{1}{2}mv_x^2

Par Boltzmann :

f(v_x) \propto e^{ - \frac{1}{2} \cdot \frac{m v_x^2}{k_B T} }

Donc $v_x$ suit une loi normale centrée de variance $\sigma^2 = \frac{k_B T}{m}$ .

La moyenne de l'énergie est alors :

\left\langle E_x \right\rangle = \frac{1}{2}m \left\langle v_x^2 \right\rangle = \frac{1}{2}m \sigma^2 = \frac{1}{2}k_B T

2.2. Généralisation

Ce raisonnement s'applique à tout degré de liberté quadratique.

Type	Énergie associée	Contribution moyenne
Translation $v$	$\tfrac12 m v^{2}$	$\tfrac12 k_B T$ par degré de liberté
Rotation $\omega$	$\tfrac12 I \omega^{2}$	$\tfrac12 k_B T$ par axe de rotation
Vibration $x$	$\tfrac12 m v^{2} + \tfrac12 k x^{2}$	$k_B T$ (car 2 termes : cinétique + potentielle)

Chaque variable au carré = un demi $k_B T$ . Une vibration a deux termes quadratiques elle apporte $k_B T$ .

3. Application à l'énergie interne

L'énergie interne $U$ d'un système est la somme des énergies microscopiques de ses particules.

Si une particule possède $f$ degrés de liberté quadratiques, elle a en moyenne :

\langle E \rangle = \frac{f}{2}k_B T

Pour $N$ particules :

\boxed{U = N \cdot \frac{f}{2}k_B T = \frac{f}{2}nRT}

3.1. Gaz parfait monoatomique

3 translations : $f = 3$

U = \frac{3}{2}nRT

3.2. Gaz parfait diatomique (T modérée)

3 translations + 2 rotations : $f = 5$

U = \frac{5}{2}nRT

Les vibrations ne contribuent qu'à haute température.

3.3. Systèmes vibrants

Chaque vibration = 2 degrés de liberté (1 cinétique + 1 potentiel)

Si la vibration est active :

\boxed{E_{\mathrm{vibration}} = k_B T}

4. Limites d'application

Le théorème ne s'applique que si :

Le degré de liberté est de type quadratique,
Il est thermiquement activé à la température $T$ ,
On est dans un cadre classique (pas quantique).

Exemples où il échoue :

Vibrations quantiques : à basse température, elles sont figées ( $k_BT \ll \hbar \omega$ )
Solides à T proche de 0 : capacité thermique chute loi de Debye

En mécanique quantique, la moyenne d'énergie par degré de liberté est inférieure à $\frac{1}{2}k_BT$

5. Exemples numériques

5.1. Hélium (gaz parfait monoatomique) à 300 K

U = \frac{3}{2} \cdot 8{,}314 \cdot 300 \approx 3741\,\mathrm{J/mol}

5.2. Azote N₂ (gaz diatomique) à 300 K

U = \frac{5}{2} \cdot 8{,}314 \cdot 300 \approx 6236\,\mathrm{J/mol}

Théorème d'Équipartition de l'Énergie

1. Qu'est-ce qu'un degré de liberté quadratique ?

2. Démonstration rigoureuse (à partir de Boltzmann)

2.1. Exemple : énergie cinétique selon vxv_xvx​

2.2. Généralisation

3. Application à l'énergie interne

3.1. Gaz parfait monoatomique

3.2. Gaz parfait diatomique (T modérée)

3.3. Systèmes vibrants

4. Limites d'application

5. Exemples numériques

5.1. Hélium (gaz parfait monoatomique) à 300 K

5.2. Azote N2 (gaz diatomique) à 300 K

Théorème d'Équipartition de l'Énergie

1. Qu'est-ce qu'un degré de liberté quadratique ?

2. Démonstration rigoureuse (à partir de Boltzmann)

2.1. Exemple : énergie cinétique selon vxv_xvx​

2.2. Généralisation

3. Application à l'énergie interne

3.1. Gaz parfait monoatomique

3.2. Gaz parfait diatomique (T modérée)

3.3. Systèmes vibrants

4. Limites d'application

5. Exemples numériques

5.1. Hélium (gaz parfait monoatomique) à 300 K

5.2. Azote N2 (gaz diatomique) à 300 K

2.1. Exemple : énergie cinétique selon $v_x$

5.2. Azote N₂ (gaz diatomique) à 300 K

2.1. Exemple : énergie cinétique selon $v_x$

5.2. Azote N₂ (gaz diatomique) à 300 K