Tenseur des Déformations

Le tenseur des déformations est un outil fondamental en mécanique des milieux déformables. Il permet de quantifier comment un matériau, qu'il soit solide ou fluide, change de forme et de dimensions lorsqu'il est soumis à des sollicitations mécaniques. Pour les fluides, l'analogue est le tenseur des taux de déformations, qui décrit la vitesse à laquelle une particule de fluide se déforme, et intervient notamment dans la formulation des contraintes visqueuses dans les équations de Navier-Stokes.

1. Définition et Notation

Pour de petits déplacements, le tenseur des déformations infinitésimales est défini à partir du champ de vitesse $\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)$ par :

\boxed{\varepsilon_{ij} = \tfrac12 \bigl( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \bigr).}

Les termes diagonaux ( $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\varepsilon_{33}$ ) représentent l’allongement ou la compression locale dans les directions $x_1$ , $x_2$ et $x_3$ . Leur somme (la trace) décrit la dilatation ou la contraction volumétrique.
Les termes hors-diagonaux ( $\varepsilon_{12}$ , $\varepsilon_{13}$ , $varepsilon_{23}$ ) quantifient le cisaillement, c’est-à-dire le glissement relatif entre des plans perpendiculaires aux axes considérés.

Dans le cas des fluides, on utilise souvent le tenseur des taux de déformations défini de la même manière à partir du champ de vitesse $\vec{v}$ .

2. Origine et Démonstration Didactique

2.1. Contexte et Notation

Considérons un fluide dont le champ de vitesse est donné par :

\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1(x_1,x_2,x_3) \\ v_2(x_1,x_2,x_3) \\ v_3(x_1,x_2,x_3) \end{pmatrix}.

Le gradient du champ de vitesse est alors défini par la matrice :

\nabla \vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{\partial v_1}{\partial x_1} & \frac{\partial v_1}{\partial x_2} & \frac{\partial v_1}{\partial x_3} \\ \frac{\partial v_2}{\partial x_1} & \frac{\partial v_2}{\partial x_2} & \frac{\partial v_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial v_3}{\partial x_1} & \frac{\partial v_3}{\partial x_2} & \frac{\partial v_3}{\partial x_3} \end{pmatrix}.

Ce gradient indique comment les vitesses varient localement dans toutes les directions.

2.2. Décomposition en Parties Symétrique et Antisymétrique

La décomposition consiste à séparer le gradient en deux parties :

La partie symétrique, définissant le tenseur des déformations (ou des taux de déformations dans le cas des fluides), notée $\varepsilon$ .
La partie antisymétrique, représentant le tenseur de rotation (ou vorticité), notée $\omega$ .

Matriciellement, on écrit :

\nabla \vec{v} = \varepsilon + \omega

avec

\varepsilon = \tfrac12 \bigl( \nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T} \bigr) \quad \mathrm{et} \quad \omega = \tfrac12 \bigl( \nabla\vec{v} - (\nabla\vec{v})^{T} \bigr)

Démonstration par multiplication matricielle :

1. Matrice du gradient $A = \nabla \vec{v}$

Soit

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \quad \mathrm{avec} \quad a_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}.

2. Transpose de $A$ :

La transposée de $A$ est

A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}.

3. Calcul de la partie symétrique $S = \varepsilon$ :

\varepsilon = \frac{A + A^{T}}{2} = \frac12 \begin{pmatrix} a_{11}+a_{11} & a_{12}+a_{21} & a_{13}+a_{31} \\ a_{21}+a_{12} & a_{22}+a_{22} & a_{23}+a_{32} \\ a_{31}+a_{13} & a_{32}+a_{23} & a_{33}+a_{33} \end{pmatrix}.

Ce qui donne :

\varepsilon = \begin{pmatrix} a_{11} & \dfrac{a_{12}+a_{21}}{2} & \dfrac{a_{13}+a_{31}}{2} \\ \dfrac{a_{12}+a_{21}}{2} & a_{22} & \dfrac{a_{23}+a_{32}}{2} \\ \dfrac{a_{13}+a_{31}}{2} & \dfrac{a_{23}+a_{32}}{2} & a_{33} \end{pmatrix}.

4. Calcul de la partie antisymétrique $\omega$ :

\omega = \frac{A - A^{T}}{2} = \frac12 \begin{pmatrix} 0 & a_{12}-a_{21} & a_{13}-a_{31} \\ a_{21}-a_{12} & 0 & a_{23}-a_{32} \\ a_{31}-a_{13} & a_{32}-a_{23} & 0 \end{pmatrix}.

La matrice résultante est antisymétrique, c’est-à-dire $\omega_{ij} = -\,\omega_{ji}$ .

2.3. Interprétation Physique et Métaphores

Partie Symétrique $\varepsilon$ :

1. Termes Diagonaux ( $\varepsilon_{11}$ , $\varepsilon_{22}$ , $\varepsilon_{33}$ ) :

Ces termes mesurent l'allongement ou la compression du fluide le long des directions $x_1$ , $x_2$ et $x_3$ respectivement. Leur somme, la trace, indique la dilatation ou contraction volumétrique.

2. Termes Hors-Diagonaux ( $\varepsilon_{12}$ , etc.) : Ceux-ci quantifient le cisaillement, c'est-à-dire le glissement relatif entre les couches du fluide sans changement de volume.

Métaphore du Bloc de Pâte à Modeler : Imaginez un petit bloc de pâte à modeler. Si vous étirez ou compressez le bloc, les modifications des longueurs dans chaque direction correspondent aux termes diagonaux. Si vous faites glisser la partie supérieure par rapport à la partie inférieure, cela crée un effet de cisaillement représenté par les termes hors-diagonaux.

4. Exemple Matriciel Complet pour un Cas de Déformation (2D)

Considérons un exemple en 2D pour simplifier la démonstration. Soit le champ de vitesse dans le plan $(x,y)$ défini par :

\vec{v}(x,y) = \begin{pmatrix} v_1(x,y) \\ v_2(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x + b y \\ c x + d y \end{pmatrix},

où $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des constantes.

La matrice du gradient de $\vec{v}$ est alors :

\nabla \vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{\partial v_1}{\partial x} & \frac{\partial v_1}{\partial y} \\ \frac{\partial v_2}{\partial x} & \frac{\partial v_2}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.

1. Calcul de la partie symétrique :

\varepsilon = \tfrac12(\nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T}) = \tfrac12\left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a & \tfrac{b+c}{2} \\ \tfrac{b+c}{2} & d \end{pmatrix}.

La composante $\varepsilon_{11} = a$ décrit l’allongement dans la direction $x$ .
La composante $\varepsilon_{22} = d$ décrit l’allongement dans la direction $y$ .
Le terme $\varepsilon_{12} = \varepsilon_{21} = \dfrac{b+c}{2}$ quantifie le cisaillement entre $x$ et $y$ .

2. Calcul de la partie antisymétrique :

\omega = \tfrac12(\nabla\vec{v} - (\nabla\vec{v})^{T}) = \tfrac12\left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{b-c}{2} \\ \tfrac{c-b}{2} & 0 \end{pmatrix}.

Ici, $\omega_{12} = \tfrac{b-c}{2}$ (et $\omega_{21} = -\omega_{12}$ ) représente la rotation dans le plan.