Tenseur des Contraintes Visqueuses

Le tenseur des contraintes visqueuses décrit les forces internes exercées par un fluide en mouvement en raison de la viscosité, jouant un rôle crucial dans la dissipation d'énergie et la dynamique des écoulements. Il traduit l'effet de la friction interne qui tend à résister aux différences de vitesse au sein du fluide, jouant ainsi un rôle essentiel dans la gestion des écoulements et des déformations au sein du fluide.

1. Relation Constitutive : Fluide Non-Newtonien

Pour un fluide non-newtonien, la viscosité $\eta(\gamma)$ dépend du taux de déformation $\gamma$ , et la relation entre le tenseur des contraintes visqueuses $\tau$ et le tenseur des déformations $D$ devient non linéaire.

La relation constitutive est donnée par :

\boxed{\tau = - p \mathbf{I} + 2 \eta(\gamma) (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})}

Où :

$p$ est la pression,
$\mathbf{I}$ est le tenseur identité,
$D = \tfrac12 \bigl( \nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T} \bigr)$ est le tenseur des déformations,
$\eta(\gamma)$ est la viscosité dynamique fonction du taux de déformation $\gamma$ .

Dans cette formulation, $\eta(\gamma)$ est une fonction du taux de déformation, ce qui fait que la viscosité n'est plus constante et que la relation entre la contrainte et le taux de déformation est non linéaire.

2. Relation Constitutive : Fluide Newtonien

Dans le cas d'un fluide newtonien, où la viscosité est supposée être constante et indépendante du taux de déformation $\gamma$ , la relation entre le tenseur des contraintes visqueuses $\tau$ et le tenseur des déformations $D$ devient linéaire et est exprimée par :

\boxed{\tau = - p \mathbf{I} + 2 \mu (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})}

Où :

$\mu$ est la viscosité dynamique,
$D = \tfrac12 \bigl( \nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T} \bigr)$ est le tenseur des déformations.

Dans le cas d'un fluide incompressible ( $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ ), cette expression se simplifie en :

\tau = 2 \mu D

Ce modèle décrit les fluides comme l'eau, l'air à faible vitesse ou d'autres fluides dans lesquels la viscosité est constante et ne dépend pas du taux de déformation.

3. Démonstration : Fluide Newtonien

A. Définir le gradient de vitesse

Le gradient de vitesse $\nabla \vec{v}$ est un terme fondamental pour comprendre comment la vitesse varie dans l'espace. Il s'écrit sous la forme de la matrice des dérivées partielles de la vitesse $\vec{v}$ par rapport aux coordonnées $x_j$ :

(\nabla \vec{v})_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}

Cette matrice est une représentation locale de la variation de la vitesse dans chaque direction.

B. Construire le tenseur des déformations $D$

Le tenseur des déformations $D$ représente la variation de la vitesse dans le fluide, prenant en compte la symétrisation du gradient de vitesse pour ne conserver que les termes associés aux déformations (et non aux rotations).

Ce tenseur est défini par :

D_{ij} = \tfrac12 \bigl( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \bigr)

Cela permet de capturer les déformations de volume et les déformations de cisaillement tout en excluant les rotations, qui ne contribuent pas aux forces visqueuses dans le cas d'un fluide incompressible.

C. Séparer la déformation volumique

En mécanique des fluides, la déformation volumique correspond à une variation uniforme du volume du fluide sans changement de forme. Pour séparer cette contribution, on calcule la trace du tenseur des déformations :

\mathrm{tr}(D) = D_{11} + D_{22} + D_{33} = \nabla \cdot \vec{v}

Dans le cas d'un fluide incompressible, $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ , ce qui signifie qu'il n'y a pas de déformation volumique.

En retirant cette déformation isotrope, on obtient le tenseur déviatorique $D'$ :

D' = D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I}

D. Appliquer la loi de Newton

Pour un fluide newtonien, la relation entre le tenseur des contraintes $\tau$ et le tenseur des déformations $D$ est linéaire et exprimée comme :

\tau = 2 \mu D'

Cela donne l'expression finale de la contrainte visqueuse pour un fluide newtonien :

\tau = 2 \mu (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})

Cela montre que la contrainte visqueuse est proportionnelle au taux de déformation $D$ et à la viscosité dynamique $\mu$ , avec une correction isotrope lorsque $\nabla \cdot \vec{v} \neq 0$ .

4. Démonstration : Fluide Non-Newtonien

A. Hypothèse de dépendance de la viscosité

Pour un fluide non-newtonien, la viscosité $\eta(\gamma)$ n'est pas constante et dépend du taux de déformation $\gamma$ . Cette dépendance rend la relation entre le tenseur des contraintes et le taux de déformation non linéaire. Le modèle général du fluide non-newtonien peut être écrit comme :

\tau = - p \mathbf{I} + 2 \eta(\gamma) (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})

Ici, $\eta(\gamma)$ est une fonction du taux de déformation $\gamma$ , qui peut varier en fonction des conditions locales du fluide.

B. Justification physique

La viscosité variable $\eta(\gamma)$ reflète le fait que les fluides non-newtoniens montrent des comportements complexes tels que la dilatation ou la contraction du fluide en fonction du taux de cisaillement. La relation non linéaire permet de mieux modéliser des fluides comme les boues, les suspensions ou même le ketchup, qui ne suivent pas la loi de viscosité constante d'un fluide newtonien.

C. Contribution volumique et déviatorique

Comme dans le cas des fluides newtoniens, le tenseur des déformations est décomposé en deux parties : une contribution volumique et une déviatorique.

La contribution volumique, donnée par $\frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I}$ , est soustraite pour isoler les effets de cisaillement qui modifient la forme du fluide sans changer son volume.

La relation finale pour un fluide non-newtonien devient alors :

\tau = 2 \eta(\gamma) (D' - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})

Tenseur des Contraintes Visqueuses

1. Relation Constitutive : Fluide Non-Newtonien

La relation constitutive est donnée par :

\boxed{\tau = - p \mathbf{I} + 2 \eta(\gamma) (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})}

Où :

$p$ est la pression,
$\mathbf{I}$ est le tenseur identité,
$D = \tfrac12 \bigl( \nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T} \bigr)$ est le tenseur des déformations,
$\eta(\gamma)$ est la viscosité dynamique fonction du taux de déformation $\gamma$ .

2. Relation Constitutive : Fluide Newtonien

\boxed{\tau = - p \mathbf{I} + 2 \mu (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})}

Où :

$\mu$ est la viscosité dynamique,
$D = \tfrac12 \bigl( \nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T} \bigr)$ est le tenseur des déformations.

Dans le cas d'un fluide incompressible ( $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ ), cette expression se simplifie en :

\tau = 2 \mu D

Ce modèle décrit les fluides comme l'eau, l'air à faible vitesse ou d'autres fluides dans lesquels la viscosité est constante et ne dépend pas du taux de déformation.

3. Démonstration : Fluide Newtonien

A. Définir le gradient de vitesse

(\nabla \vec{v})_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}

Cette matrice est une représentation locale de la variation de la vitesse dans chaque direction.

B. Construire le tenseur des déformations $D$

Ce tenseur est défini par :

D_{ij} = \tfrac12 \bigl( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \bigr)

C. Séparer la déformation volumique

\mathrm{tr}(D) = D_{11} + D_{22} + D_{33} = \nabla \cdot \vec{v}

Dans le cas d'un fluide incompressible, $\nabla \cdot \vec{v} = 0$ , ce qui signifie qu'il n'y a pas de déformation volumique.

En retirant cette déformation isotrope, on obtient le tenseur déviatorique $D'$ :

D' = D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I}

D. Appliquer la loi de Newton

Pour un fluide newtonien, la relation entre le tenseur des contraintes $\tau$ et le tenseur des déformations $D$ est linéaire et exprimée comme :

\tau = 2 \mu D'

Cela donne l'expression finale de la contrainte visqueuse pour un fluide newtonien :

\tau = 2 \mu (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})

4. Démonstration : Fluide Non-Newtonien

A. Hypothèse de dépendance de la viscosité

\tau = - p \mathbf{I} + 2 \eta(\gamma) (D - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})

Ici, $\eta(\gamma)$ est une fonction du taux de déformation $\gamma$ , qui peut varier en fonction des conditions locales du fluide.

B. Justification physique

C. Contribution volumique et déviatorique

Comme dans le cas des fluides newtoniens, le tenseur des déformations est décomposé en deux parties : une contribution volumique et une déviatorique.

La relation finale pour un fluide non-newtonien devient alors :

\tau = 2 \eta(\gamma) (D' - \frac{1}{3} (\nabla \cdot \vec{v}) \mathbf{I})