Taux de Déformation $\gamma$

Le taux de déformation $\gamma$ est une grandeur scalaire essentielle en mécanique des fluides et en rhéologie. Il quantifie l'intensité du cisaillement subi par un fluide ou un matériau et sert à caractériser sa réponse visqueuse ou viscoélastique.

1. Définition du Tenseur de Déformation et de $\gamma$

Le tenseur des déformations $D$ (d'ordre 2) est défini par :

\boxed{D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).}

Pour obtenir une mesure scalaire du taux de déformation, on introduit :

\boxed{\gamma = \sqrt{2\,D:D} = \sqrt{2\,\sum_{i,j}D_{ij}^2}.}

$D:D$ est la double contraction du tenseur (trace de $D^T D$ ).
Le facteur 2 garantit la cohérence avec la somme des carrés des déformations de cisaillement.

2. Interprétation Physique

Le taux de déformation $\gamma$ représente la vitesse relative de glissement entre deux couches infinitésimales du fluide :

Faible $\gamma$ : écoulement lent, faible cisaillement.
Fort $\gamma$ : fort cisaillement, grandes différences de vitesse.

$\gamma$ sert de paramètre d'entrée pour de nombreux modèles viscoélastiques et non‑newtoniens, où la viscosité dépend de la valeur de $\gamma$ .

3. Démonstration de la Formule de $\gamma$

A. Calcul du tenseur $D$ On commence par le gradient de vitesse :

(\nabla\vec v)_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}.

Symétrisation :

D_{ij} = \frac12\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr).

B. Double contraction

D:D = \sum_{i,j} D_{ij} D_{ij}.

C. Définition de $\gamma$ On pose :

\gamma = \sqrt{2\,D:D} = \sqrt{2\sum_{i,j}D_{ij}^2}.

Le facteur $\sqrt{2}$ assure que, dans un cisaillement simple ( $v_x = \dot\gamma y$ ), on retrouve $\gamma = \dot\gamma$ .

4. Exemple

Pour un cisaillement simple de vitesse de cisaillement $\dot\gamma$ (écoulement Couette) :

\vec v = (\dot\gamma\,y,0,0) \quad\Rightarrow\quad D = \frac12 \begin{pmatrix} 0 & \dot\gamma & 0 \dot\gamma & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Alors :

D:D = \frac12\dot\gamma^2 \quad\Rightarrow\quad \gamma = \sqrt{2\cdot\frac12\dot\gamma^2} = \dot\gamma.

Taux de Déformation $\gamma$

1. Définition du Tenseur de Déformation et de $\gamma$

Le tenseur des déformations $D$ (d'ordre 2) est défini par :

\boxed{D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).}

Pour obtenir une mesure scalaire du taux de déformation, on introduit :

\boxed{\gamma = \sqrt{2\,D:D} = \sqrt{2\,\sum_{i,j}D_{ij}^2}.}

$D:D$ est la double contraction du tenseur (trace de $D^T D$ ).
Le facteur 2 garantit la cohérence avec la somme des carrés des déformations de cisaillement.

2. Interprétation Physique

Le taux de déformation $\gamma$ représente la vitesse relative de glissement entre deux couches infinitésimales du fluide :

Faible $\gamma$ : écoulement lent, faible cisaillement.
Fort $\gamma$ : fort cisaillement, grandes différences de vitesse.

$\gamma$ sert de paramètre d'entrée pour de nombreux modèles viscoélastiques et non‑newtoniens, où la viscosité dépend de la valeur de $\gamma$ .

3. Démonstration de la Formule de $\gamma$

A. Calcul du tenseur $D$ On commence par le gradient de vitesse :

(\nabla\vec v)_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}.

Symétrisation :

D_{ij} = \frac12\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr).

B. Double contraction

D:D = \sum_{i,j} D_{ij} D_{ij}.

C. Définition de $\gamma$ On pose :

\gamma = \sqrt{2\,D:D} = \sqrt{2\sum_{i,j}D_{ij}^2}.

Le facteur $\sqrt{2}$ assure que, dans un cisaillement simple ( $v_x = \dot\gamma y$ ), on retrouve $\gamma = \dot\gamma$ .

4. Exemple

Pour un cisaillement simple de vitesse de cisaillement $\dot\gamma$ (écoulement Couette) :

\vec v = (\dot\gamma\,y,0,0) \quad\Rightarrow\quad D = \frac12 \begin{pmatrix} 0 & \dot\gamma & 0 \dot\gamma & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Alors :

D:D = \frac12\dot\gamma^2 \quad\Rightarrow\quad \gamma = \sqrt{2\cdot\frac12\dot\gamma^2} = \dot\gamma.

Taux de Déformation γ\gammaγ

1. Définition du Tenseur de Déformation et de γ\gammaγ

2. Interprétation Physique

3. Démonstration de la Formule de γ\gammaγ

4. Exemple

Taux de Déformation γ\gammaγ

1. Définition du Tenseur de Déformation et de γ\gammaγ

2. Interprétation Physique

3. Démonstration de la Formule de γ\gammaγ

4. Exemple

Taux de Déformation $\gamma$

1. Définition du Tenseur de Déformation et de $\gamma$

3. Démonstration de la Formule de $\gamma$

Taux de Déformation $\gamma$

1. Définition du Tenseur de Déformation et de $\gamma$

3. Démonstration de la Formule de $\gamma$