Statique des Fluides

La statique des fluides étudie les fluides au repos et les lois qui régissent leur comportement.

1. Introduction et Notions de Base

1.1. Introduction

En statique des fluides, la pression augmente avec la profondeur selon une relation simple.

Si on considère un petit élément de fluide entre deux niveaux $z$ et $z +$ Delta z$, on peut établir l'équilibre des forces verticales.

La variation de pression verticale est donnée par :

p(z+\Delta z) - p(z) = \rho g \Delta z

où :

$p(z)$ est la pression au niveau $z$ ,
$\rho$ est la masse volumique du fluide,
$g$ est l'accélération de la pesanteur,
$\Delta z$ est la variation de hauteur.

Cette relation est la base de la loi fondamentale de la statique des fluides.

1.2. Notions de base

En statique, un fluide est considéré à l'équilibre : il n'y a ni déplacement ni déformation. Les principales notions abordées incluent :

Pression : La force exercée par le fluide par unité de surface, définie par

p = \frac{F}{A}

Force de pesanteur : Chaque élément de fluide subit l'action de la gravité, représentée par l'accélération $g$ .
Équilibre d'un élément fluide : La somme des forces exercées sur tout élément de fluide doit être nulle lorsqu'il est à l'équilibre.

Pour un fluide au repos, seules la pression et la force due à la gravité interviennent.

2. La Variation de la Pression dans un Fluide au Repos

Pour un fluide incompressible et homogène (densité $\rho$ constante), on cherche à déterminer la variation de la pression en fonction de la profondeur.

2.1. Équilibre d'un Élément Fluide

Considérons un petit élément de fluide sous forme de parallélépipède ayant pour base une aire $\Delta A$ et pour hauteur $\Delta z$ .

Face supérieure (à $z$ ) :

La pression est $p(z)$ et la force exercée vers le bas est $F_{\text{sup}} = p(z)\Delta A.$

Face inférieure (à $z+\Delta z$ ) :

La pression est $p(z+\Delta z)$ et la force exercée vers le haut est $F_{\text{inf}} = p(z+\Delta z)\Delta A.$

Poids de l'élément :

La masse du fluide est $\rho\, \Delta A\, \Delta z$ et son poids est $P = \rho\, g\, \Delta A\, \Delta z.$

L'équilibre vertical impose : Dans l'équilibre d'un élément fluide, on choisit une convention de signe (par exemple, positif vers le haut).

Ainsi, la force exercée sur la face inférieure, Finf, agit vers le haut et est donc considérée positive, tandis que la force exercée sur la face supérieure, Fsup, agit vers le bas et est comptabilisée comme une force négative dans l'équation d'équilibre.

F_{\text{inf}} - F_{\text{sup}} - P = 0.

Ainsi,

p(z+\Delta z)\Delta A - p(z)\Delta A - \rho\, g\, \Delta A\, \Delta z = 0.

Divisant par $\Delta A$ :

\boxed{p(z+\Delta z) - p(z) = \rho\, g\, \Delta z.}

2.2. Passage à la Limite et Loi Hydrostatique

En faisant tendre $\Delta z$ vers zéro, on reconnaît la dérivée :

\frac{dp}{dz} = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{p(z+\Delta z)-p(z)}{\Delta z} = \rho\, g.

Convention de signe : Si l'on définit $z$ positif vers le haut (c'est-à-dire que la profondeur augmente lorsque $z$ diminue), alors la variation réelle de la pression est décroissante avec $z$ et l'équation s'écrit :

\frac{dp}{dz} = -\rho\, g.

L'intégration entre une hauteur $z_0$ (où la pression est ( p(z_0) )) et une hauteur $z$ donne :

\int_{p(z_0)}^{p(z)} dp = -\rho\, g \int_{z_0}^{z} dz,

ce qui se traduit par :

p(z) - p(z_0) = -\rho\, g\,(z - z_0),

ou, de manière équivalente :

p(z) = p(z_0) - \rho\, g\,(z - z_0).

Cas particulier : Si $z_0$ correspond à la surface libre d'un liquide (avec $p(z_0)=p_{\text{atm}}$ ) et si l'on définit la profondeur $h = z_0 - z$ , alors :

\boxed{p(z) = p_{\text{atm}} + \rho\, g\, h.}

3. Exemples Concrets et Applications

3.1. Exemple : Pression dans un Réservoir d'Eau

Considérons un réservoir d'eau ouvert à la surface (pression $p_{\text{atm}}$ ) sur une profondeur $h$ . La pression au fond du réservoir est donnée par :

p_{\text{fond}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{eau}}\, g\, h.

Pour $\rho_{\text{eau}} \approx 1000\ \text{kg/m}^3$ , $g \approx 9.81\ \text{m/s}^2$ , et $h = 5\ \text{m}$ , en prenant $p_{\text{atm}} \approx 101325\ \text{Pa}$ on obtient :

p_{\text{fond}} \approx 101325\ \text{Pa} + 1000 \times 9.81 \times 5 \approx 101325\ \text{Pa} + 49050\ \text{Pa} \approx 150375\ \text{Pa}.

3.2. Exemple : Calcul de la Force sur une Paroi d'un Barrage

Pour déterminer la force totale $F$ exercée par l'eau sur une paroi verticale d'un barrage de hauteur $H$ et de largeur $L$ , on commence par exprimer la pression en fonction de la profondeur :

p(h) = p_{\text{atm}} + \rho\, g\, h.

La force différentielle sur une bande horizontale d'épaisseur $dh$ est :

dF = p(h)\, L\, dh.

L'intégration sur la hauteur de la paroi (de $h=0$ à $h=H$ ) donne :

F = \int_{0}^{H} p(h)\, L\, dh = L \left[ p_{\text{atm}}\, H + \tfrac{1}{2}\rho\, g\, H^2 \right]

3.3. Démonstration du Principe d'Archimède

Le principe d'Archimède stipule qu'un corps immergé dans un fluide subit une force de flottabilité égale au poids du fluide déplacé. Voici sa démonstration :

Considérons un objet immergé totalement dans un fluide de densité $\rho_{\text{fluide}}$ .

3.3.1. Modélisation de l'objet :

Supposons que l'objet a une hauteur $h$ et une section horizontale dont l'aire varie avec la profondeur.

Pour simplifier, commençons par un objet de forme prismatique de section constante $A$ et hauteur $h$ .

Pression sur les faces supérieure et inférieure :

La pression exercée sur la face supérieure, située à une profondeur $h_{\text{sup}}$ , est $p_{\text{sup}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{fluide}}\, g\, h_{\text{sup}}.$
La pression sur la face inférieure, à une profondeur $h_{\text{inf}} = h_{\text{sup}} + h$ , est $p_{\text{inf}} = p_{\text{atm}} + \rho_{\text{fluide}}\, g\, (h_{\text{sup}}+h).$

3.3.2. Calcul de la force résultante :

Les forces dues à la pression sur ces deux faces sont :

Force vers le bas sur la face supérieure :

F_{\text{sup}} = p_{\text{sup}} \, A.

Force vers le haut sur la face inférieure : $F_{\text{inf}} = p_{\text{inf}} \, A.$

La force nette (force de flottabilité $F_B$ ) s'obtient par :

F_B = F_{\text{inf}} - F_{\text{sup}} = \left[p_{\text{atm}} + \rho_{\text{fluide}}\, g\, (h_{\text{sup}} + h)\right]A - \left[p_{\text{atm}} + \rho_{\text{fluide}}\, g\, h_{\text{sup}}\right]A

3.3.3. Simplifions :

F_B = \rho_{\text{fluide}}\, g\, h \, A.

Lien avec le Volume Déplacé : Le volume $V$ de l'objet (et donc le volume de fluide déplacé en cas d'immersion totale) est donné par $V = A \, h.$

Ainsi, la force de flottabilité devient :

F_B = \rho_{\text{fluide}}\, g\, V.

Ce résultat montre que la force de flottabilité est égale au poids du fluide déplacé par l'objet, ce qui constitue le principe d'Archimède.

4. Conclusion

En statique des fluides, l'étude de la variation de la pression avec la profondeur permet d'établir la loi hydrostatique :

p(z) = p(z_0) - \rho\, g\,(z - z_0),

ou, en exprimant la profondeur $h$ ,

p(z) = p_{\text{atm}} + \rho\, g\, h.