# Nombres Sans Dimension en Thermodynamique des Fluides En **mécanique des fluides** et en **transfert thermique**, plusieurs **nombres sans dimension** permettent de caractériser les différents phénomènes physiques. Ils comparent des **effets concurrents** : viscosité, inertie, conduction thermique, flottabilité, advection, etc. > **Résumé rapide** : > Chaque nombre compare **deux mécanismes physiques** et indique **qui domine** dans une situation donnée. --- ## 1. Liste des principaux nombres | **Nom** | **Symbole** | **Fonction principale** | |--------------------------|-------------|----------------------------------------------------------| | **Nombre de Reynolds** | $Re$ | Compare inertie ↔ viscosité (écoulement) | | **Nombre de Prandtl** | $Pr$ | Compare viscosité ↔ conduction thermique | | **Nombre de Nusselt** | $Nu$ | Compare convection ↔ conduction | | **Nombre de Rayleigh** | $Ra$ | Stabilité thermique d'un fluide | | **Nombre de Grashof** | $Gr$ | Force d’Archimède ↔ force visqueuse (convection) | | **Nombre de Péclet** | $Pe$ | Advection ↔ diffusion thermique | | **Nombre d’Avogadro** | $N_A$ | Nombre d'entités par mole (physique statistique) | Ces nombres permettent de **prédire** la nature du transfert thermique ou de l'écoulement. --- ## 2. Détail de chaque nombre ### 2.1. Nombre de Reynolds $Re$ **Définition** : où : - $\rho$ : densité du fluide (kg/m³), - $v$ : vitesse caractéristique (m/s), - $L$ : **longueur caractéristique** (m), - $\mu$ : viscosité dynamique (Pa·s). **Interprétation** : - $Re \ll 1$ : écoulement **laminaire** (dominance de la viscosité), - $Re \gg 1$ : écoulement **turbulent** (dominance de l'inertie). --- ### 2.2. Nombre de Prandtl $Pr$ **Définition** : où : - $c_p$ : capacité thermique massique (J/kg/K), - $\mu$ : viscosité dynamique (Pa·s), - $\lambda$ : conductivité thermique (W/m/K). **Interprétation** : - $Pr \ll 1$ : chaleur diffuse plus vite que l'impulsion (métaux liquides), - $Pr \sim 1$ : diffusion comparable (air), - $Pr \gg 1$ : impulsion se diffuse plus vite que la chaleur (huiles). > Compare la capacité du fluide à diffuser la chaleur et à diffuser le mouvement. --- ### 2.3. Nombre de Nusselt $Nu$ **Définition** : où : - $h$ : coefficient de convection thermique (W/m²/K), - $L$ : longueur caractéristique (m), - $\lambda$ : conductivité thermique (W/m/K). **Interprétation** : - $Nu = 1$ : conduction pure, - $Nu > 1$ : convection renforce le transfert. > Plus $Nu$ est grand, plus la convection est **efficace**. --- ### 2.4. Nombre de Rayleigh $Ra$ **Définition** : où : - $g$ : gravité (m/s²), - $\beta$ : coefficient de dilatation thermique (K$^{-1}$), - $T_s - T_\infty$ : différence de température (K), - $\nu$ : viscosité cinématique (m²/s), - $\alpha$ : diffusivité thermique (m²/s). **Interprétation** : - $Ra < 10^3$ : conduction prédominante, - $Ra > 10^3$ : convection naturelle démarre. > Indique quand le fluide commence à "bouger tout seul" sous l'effet de la chaleur. --- ### 2.5. Nombre de Grashof $Gr$ **Définition** : **Interprétation** : $Gr$ grand effet d'Archimède dominant sur la viscosité. > Utilisé pour décrire la **force de convection naturelle**. --- ### 2.6. Nombre de Péclet $Pe$ **Définition** : **Interprétation** : - $Pe \gg 1$ : advection (transport par le mouvement) prédomine, - $Pe \ll 1$ : diffusion thermique prédomine. > Permet de juger si un transport est dû principalement au déplacement ou à la diffusion. --- ### 2.7. Nombre d'Avogadro $N_A$ **Définition** : **Interprétation** : Indique combien de particules (atomes, molécules) constituent une mole de matière. > Fondamental en **thermodynamique statistique** et en chimie. --- ## 3. Relations entre les nombres Quelques corrélations importantes : - Convection forcée : - Convection naturelle : - Rayleigh en fonction de Grashof et Prandtl : Ces relations permettent de calculer des coefficients d'échange thermique en fonction des caractéristiques du fluide et du régime d'écoulement. --- ## 📖 4. Tableau récapitulatif | **Nom** | **Formule principale** | **Fonction physique** | |----------------|-------------------------------------------------------------------------------|--------------------------------| | **Reynolds** $Re$ | $\dfrac{\rho\,v\,L}{\mu}$ | Inertie / viscosité | | **Prandtl** $Pr$ | $\dfrac{c_p\,\mu}{\lambda}$ | Viscosité / conduction | | **Nusselt** $Nu$ | $\dfrac{hL}{\lambda}$ | Convection / conduction | | **Rayleigh** $Ra$ | $\dfrac{g\,\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu\,\alpha}$ | Stabilité thermique | | **Grashof** $Gr$ | $\dfrac{g\,\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu^2}$ | Archimède / viscosité | | **Péclet** $Pe$ | $\dfrac{vL}{\alpha}$ | Transport thermique | | **Avogadro** $N_A$ | constante | Nombre d'entités par mole | --- ## 5. Applications pratiques - **Analyse des écoulements** (canalisations, échangeurs), - **Conception de radiateurs**, - **Calcul de convection naturelle** pour le chauffage des bâtiments, - **Études d'isolation thermique**, - **Prévisions climatiques** (mécanismes de convection atmosphérique). > Ces nombres sont utilisés **partout** en ingénierie thermique, énergétique, aéronautique et dans la recherche scientifique.