Nombre de Rayleigh

Le nombre de Rayleigh $Ra$ est un nombre sans dimension fondamental pour décrire la convection naturelle.

Il exprime le rapport entre les effets de poussée thermique (due à la gravité) et les forces dissipatives (viscosité + conduction thermique).

Résumé rapide :

$Ra$ grand convection intense,
$Ra$ petit conduction dominante, convection faible.

1. Définition

Le nombre de Rayleigh est défini par :

\boxed{Ra = Gr \times Pr}

où :

$Gr$ : nombre de Grashof,
$Pr$ : nombre de Prandtl.

Formule développée :

\boxed{Ra = \frac{g \beta \Delta T L^3}{\nu \alpha}}

avec :

$g$ : accélération de la pesanteur (m/s²),
$\beta$ : coefficient de dilatation thermique (1/K),
$\Delta T$ : différence de température (K),
$L$ : longueur caractéristique (m),
$\nu$ : viscosité cinématique (m²/s),
$\alpha$ : diffusivité thermique (m²/s).

Le nombre de Rayleigh mesure donc l'intensité de la convection naturelle dans un fluide.

2. Sens physique

Si $Ra$ est faible la conduction est dominante,
Si $Ra$ dépasse un seuil critique ( $Ra_c \approx 1700$ ) apparition de cellules convectives,
Si $Ra \gg 10^6$ convection turbulente très efficace.

En résumé : $Ra$ contrôle le mode de transfert thermique : conduction seule / convection laminaire / convection turbulente.

3. Application au flux thermique

Le nombre de Nusselt $Nu$ , qui caractérise l'efficacité du transfert thermique, dépend directement de $Ra$ en convection naturelle.

Forme empirique classique :

\boxed{Nu = C Ra^n}

avec :

$C$ et $n$ : constantes dépendant du régime, Typiquement pour l'air entre deux plaques verticales :

Laminaire : $Nu \sim Ra^{1/4}$ ,
Turbulent : $Nu \sim Ra^{1/3}$ .

Ainsi, le flux thermique par convection naturelle est lié à $Ra$ via :

q = Nu \times \lambda \frac{\Delta T}{L}

Plus $Ra$ est élevé, plus le flux thermique est élevé.

4. Exemple numérique

Données :

Fluide : air ( $\nu = 1{,}5 \times 10^{-5}\, \text{m}^2/\text{s}$ , $\alpha = 2{,}2 \times 10^{-5}\, \text{m}^2/\text{s}$ ), - $g = 9{,}81\, \text{m/s}^2$ ,
$\beta \approx \frac{1}{T} = \frac{1}{300} \, \text{K}^{-1}$ ,
$\Delta T = 20\,K$ ,
$L = 0{,}5\,\text{m}$ .

Calcul :

Ra = \frac{9{,}81 \times (1/300) \times 20 \times (0{,}5)^3}{1{,}5\times10^{-5} \times 2{,}2\times10^{-5}}

Résultat :

Ra \approx 7{,}4 \times 10^6

Interprétation : Convection bien développée et probablement turbulente.

5. Seuils de Rayleigh

Plage de $Ra$	Régime
$Ra < 10^3$	Conduction dominante
$10^3 < Ra < 10^6$	Convection laminaire
$Ra > 10^6$	Convection turbulente

À retenir : au-dessus de $Ra \sim 10^6$ , le fluide devient très efficace pour transporter la chaleur !

Nombre de Rayleigh

Le nombre de Rayleigh $Ra$ est un nombre sans dimension fondamental pour décrire la convection naturelle.

Il exprime le rapport entre les effets de poussée thermique (due à la gravité) et les forces dissipatives (viscosité + conduction thermique).

Résumé rapide :

$Ra$ grand convection intense,
$Ra$ petit conduction dominante, convection faible.

1. Définition

Le nombre de Rayleigh est défini par :

\boxed{Ra = Gr \times Pr}

où :

$Gr$ : nombre de Grashof,
$Pr$ : nombre de Prandtl.

Formule développée :

\boxed{Ra = \frac{g \beta \Delta T L^3}{\nu \alpha}}

avec :

$g$ : accélération de la pesanteur (m/s²),
$\beta$ : coefficient de dilatation thermique (1/K),
$\Delta T$ : différence de température (K),
$L$ : longueur caractéristique (m),
$\nu$ : viscosité cinématique (m²/s),
$\alpha$ : diffusivité thermique (m²/s).

Le nombre de Rayleigh mesure donc l'intensité de la convection naturelle dans un fluide.

2. Sens physique

Si $Ra$ est faible la conduction est dominante,
Si $Ra$ dépasse un seuil critique ( $Ra_c \approx 1700$ ) apparition de cellules convectives,
Si $Ra \gg 10^6$ convection turbulente très efficace.

En résumé : $Ra$ contrôle le mode de transfert thermique : conduction seule / convection laminaire / convection turbulente.

3. Application au flux thermique

Le nombre de Nusselt $Nu$ , qui caractérise l'efficacité du transfert thermique, dépend directement de $Ra$ en convection naturelle.

Forme empirique classique :

\boxed{Nu = C Ra^n}

avec :

$C$ et $n$ : constantes dépendant du régime, Typiquement pour l'air entre deux plaques verticales :

Laminaire : $Nu \sim Ra^{1/4}$ ,
Turbulent : $Nu \sim Ra^{1/3}$ .

Ainsi, le flux thermique par convection naturelle est lié à $Ra$ via :

q = Nu \times \lambda \frac{\Delta T}{L}

Plus $Ra$ est élevé, plus le flux thermique est élevé.

4. Exemple numérique

Données :

Fluide : air ( $\nu = 1{,}5 \times 10^{-5}\, \text{m}^2/\text{s}$ , $\alpha = 2{,}2 \times 10^{-5}\, \text{m}^2/\text{s}$ ), - $g = 9{,}81\, \text{m/s}^2$ ,
$\beta \approx \frac{1}{T} = \frac{1}{300} \, \text{K}^{-1}$ ,
$\Delta T = 20\,K$ ,
$L = 0{,}5\,\text{m}$ .

Calcul :

Ra = \frac{9{,}81 \times (1/300) \times 20 \times (0{,}5)^3}{1{,}5\times10^{-5} \times 2{,}2\times10^{-5}}

Résultat :

Ra \approx 7{,}4 \times 10^6

Interprétation : Convection bien développée et probablement turbulente.

5. Seuils de Rayleigh

Plage de $Ra$	Régime
$Ra < 10^3$	Conduction dominante
$10^3 < Ra < 10^6$	Convection laminaire
$Ra > 10^6$	Convection turbulente

À retenir : au-dessus de $Ra \sim 10^6$ , le fluide devient très efficace pour transporter la chaleur !