# Nombre de Rayleigh Le **nombre de Rayleigh** $Ra$ est un **nombre sans dimension** fondamental pour décrire la **convection naturelle**. Il exprime le rapport entre les effets de **poussée thermique** (due à la gravité) et les **forces dissipatives** (viscosité + conduction thermique). **Résumé rapide** : - $Ra$ grand convection intense, - $Ra$ petit conduction dominante, convection faible. --- ## 1. Définition Le nombre de Rayleigh est défini par : où : - $Gr$ : **nombre de Grashof**, - $Pr$ : **nombre de Prandtl**. Formule développée : avec : - $g$ : accélération de la pesanteur (m/s²), - $\beta$ : coefficient de dilatation thermique (1/K), - $\Delta T$ : différence de température (K), - $L$ : **longueur caractéristique** (m), - $\nu$ : **viscosité cinématique** (m²/s), - $\alpha$ : diffusivité thermique (m²/s). > Le nombre de Rayleigh mesure donc **l'intensité de la convection naturelle** dans un fluide. --- ## 2. Sens physique - Si $Ra$ est faible la **conduction** est dominante, - Si $Ra$ dépasse un seuil critique ($Ra_c \approx 1700$) apparition de **cellules convectives**, - Si $Ra \gg 10^6$ **convection turbulente** très efficace. > **En résumé** : $Ra$ contrôle **le mode de transfert thermique** : conduction seule / convection laminaire / convection turbulente. --- ## 3. Application au flux thermique Le **nombre de Nusselt** $Nu$, qui caractérise l'efficacité du transfert thermique, dépend directement de $Ra$ en convection naturelle. Forme empirique classique : avec : $C$ et $n$ : constantes dépendant du régime, Typiquement pour l'air entre deux plaques verticales : - Laminaire : $Nu \sim Ra^{1/4}$, - Turbulent : $Nu \sim Ra^{1/3}$. Ainsi, le flux thermique par convection naturelle est lié à $Ra$ via : Plus $Ra$ est élevé, **plus le flux thermique est élevé**. --- ## 4. Exemple numérique **Données** : - Fluide : air ($\nu = 1{,}5 \times 10^{-5}\, \text{m}^2/\text{s}$, $\alpha = 2{,}2 \times 10^{-5}\, \text{m}^2/\text{s}$), - $g = 9{,}81\, \text{m/s}^2$, - $\beta \approx \frac{1}{T} = \frac{1}{300} \, \text{K}^{-1}$, - $\Delta T = 20\,K$, - $L = 0{,}5\,\text{m}$. Calcul : Résultat : > Interprétation : > Convection **bien développée** et probablement **turbulente**. --- ## 5. Seuils de Rayleigh | **Plage de $Ra$** | **Régime** | |--------------------------|----------------------------| | $Ra < 10^3$ | Conduction dominante | | $10^3 < Ra < 10^6$ | Convection laminaire | | $Ra > 10^6$ | Convection turbulente | **À retenir** : au-dessus de $Ra \sim 10^6$, le fluide devient très efficace pour transporter la chaleur !