Nombre de Prandtl

Le nombre de Prandtl $Pr$ est un nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides et en transfert thermique.

Il compare la diffusion de quantité de mouvement (viscosité) à la diffusion de chaleur (conduction thermique).

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1. Définition

Le nombre de Prandtl est défini par :

où :

• $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ : viscosité cinématique (m²/s),
• $\alpha = \frac{\lambda}{\rho c_p}$ : diffusivité thermique (m²/s),
• $\mu$ : viscosité dynamique (Pa·s),
• $\rho$ : densité (kg/m³),
• $\lambda$ : conductivité thermique (W/m/K),
• $c_p$ : capacité thermique massique à pression constante (J/kg/K).

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Formule alternative directe :

$Pr$ mesure la compétition entre la diffusion de chaleur et la diffusion de mouvement dans un fluide.

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2. Sens physique

• $Pr \ll 1$ : la chaleur se diffuse beaucoup plus vite que l'impulsion. (ex : métaux liquides)
• $Pr \sim 1$ : vitesse et chaleur se diffusent au même rythme. (ex : air, gaz légers)
• $Pr \gg 1$ : l'impulsion (vitesse) se diffuse plus vite que la chaleur. (ex : huiles, liquides visqueux)

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3. Exemples de valeurs de $Pr$

Fluide	$Pr$ typique
Mercure (métal liquide)	$0{,}01$
Air (20,°C)	$0{,}71$
Eau (20,°C)	$7$
Glycérine	$> 1000$

Plus $Pr$ est grand, plus l'effet de la viscosité domine par rapport à la conduction thermique.

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4. Application pratique

Le nombre de Prandtl intervient dans :

• Les corrélations pour le nombre de Nusselt $Nu$,
• L'analyse des couches limites thermique et dynamique,
• Les prédictions de transferts convectifs.

Dans les lois expérimentales :

le $Pr$ influence directement l'efficacité du transfert thermique.

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📖 5. Exemple de calcul

Situation : Air à $20^\circ C$, avec :

• $\mu = 1{,}8\times10^{-5}\,\text{Pa·s}$,
• $\lambda = 0{,}026\,\text{W/m/K}$,
• $c_p = 1005\,\text{J/kg/K}$.

Calcul :