Nombre de Grashof

Le nombre de Grashof $Gr$ est un nombre sans dimension en thermodynamique et en mécanique des fluides.

Il évalue l'importance relative de la poussée d'Archimède par rapport aux forces visqueuses dans un fluide soumis à une variation de température.

Il est fondamental pour analyser la convection naturelle.

En gros : Grashof indique si un fluide va se mettre spontanément en mouvement sous l'effet de la chaleur.

1. Définition

Le nombre de Grashof est défini par :

\boxed{Gr = \frac{g \beta (T_s - T_\infty) L^3}{\nu^2}}

où :

$g$ : accélération de la pesanteur (en m/s²),
$\beta$ : coefficient de dilatation thermique volumique (en 1/K),
$T_s$ : température de la surface (K),
$T_\infty$ : température du fluide au loin (K),
$L$ : longueur caractéristique (en m),
$\nu$ : viscosité cinématique du fluide (en m²/s).

Plus $Gr$ est grand, plus la convection naturelle est vigoureuse.

2. Origine physique

La poussée d'Archimède due aux différences de température génère un mouvement naturel du fluide. Cependant, la viscosité du fluide résiste à ce mouvement.

Le nombre de Grashof compare :

Force de flottabilité : ( g \beta (T_s - T_\infty) ),
Force visqueuse : $\sim \nu^2 / L^2$ .

Ainsi :

Si $Gr \gg 1$ , la convection naturelle est dominante,
Si $Gr \ll 1$ , la conduction thermique prédomine.

3. Application pratique

Convection naturelle :

Lorsqu'on chauffe une plaque horizontale,
Lorsqu'un radiateur chauffe l'air d'une pièce sans ventilateur,
Lors de la montée d'air chaud dans l'atmosphère.

En général, la convection devient importante quand $Gr > 10^9$ .

4. Exemple de calcul

Une plaque chauffée est à $50\,^\circ\text{C}$ , dans une pièce à $20\,^\circ\text{C}$ .

Pour l'air :

$\beta \approx \frac{1}{T_\infty} \approx \frac{1}{293} \,\text{K}^{-1}$ ,
$\nu \approx 1,5 \times 10^{-5} \,\text{m}^2/\text{s}$ ,
$g = 9,81\,\text{m/s}^2$ ,
$L = 0,5\,\text{m}$ .

Alors :

Gr = \frac{9{,}81 \times \frac{1}{293} \times (50 - 20) \times (0{,}5)^3}{(1{,}5 \times 10^{-5})^2}

Après calcul :

Gr \approx 2{,}4 \times 10^7

Donc, la convection naturelle est significative.

5. Résumé visuel

Quantité évaluée	Formule	Interprétation
Poussée d'Archimède	$g\,\beta\,(T_s - T_\infty)$	Force qui tend à mouvoir le fluide
Résistance visqueuse	$\sim \dfrac{\nu^2}{L}$	Freinage du mouvement par la viscosité
Nombre de Grashof	$Gr = \dfrac{g\,\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu^2}$	Rapport forces d'Archimède / viscosité