Loi de Planck du Rayonnement

La loi de Planck décrit la distribution spectrale du rayonnement émis par un corps noir en fonction de la longueur d'onde et de la température.

C'est l'une des lois fondamentales de la physique moderne, née pour expliquer des phénomènes que la physique classique ne parvenait pas à modéliser.

La forme mathématique de la loi est :

\boxed{B(\lambda, T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1}}

où :

$B(\lambda, T)$ : puissance émise par unité de surface, de longueur d'onde et d'angle solide (W/m²/m/sr),
$\lambda$ : longueur d'onde (m),
$T$ : température absolue (K),
$h$ : constante de Planck $6{,}626\times10^{-34}\,\text{Js}$ ,
$c$ : vitesse de la lumière $3{,}00\times10^8\,\text{m/s})$ ,
$k_B$ : constante de Boltzmann $(1{,}381\times10^{-23}\,\text{J/K})$ .

1. Contexte historique

Avant Planck, la physique classique (loi de Rayleigh-Jeans) prédisait que l'énergie rayonnée devait devenir infinie à courte longueur d'onde (catastrophe ultraviolette).

Or, l'expérience montrait que la puissance rayonnée diminue vers les courtes longueurs d'onde.

Planck propose alors une hypothèse révolutionnaire en 1900 :

L'énergie échangée entre matière et rayonnement est quantifiée : elle est émise/absorbée par paquets discrets $E = nh\nu$ . Cela explique parfaitement les observations.

2. Démonstration de la loi de Planck

2.1. Modèle du corps noir

On modélise le corps noir comme :

Une cavité fermée,
Remplie de modes stationnaires d'ondes électromagnétiques,
Chaque mode est assimilé à un oscillateur harmonique quantifié.

Nombre de modes d'onde d'une certaine fréquence $\nu$ entre $\nu$ et $\nu + d\nu$ :

g(\nu)d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}d\nu

Interprétation :

$8\pi \nu^2/c^3$ : densité de modes par fréquence,
$d\nu$ : intervalle de fréquence.

2.2. Énergie moyenne par mode

Selon la physique quantique :

L'énergie d'un oscillateur à fréquence $\nu$ est quantifiée : $E_n = nh\nu$ avec $n \in \mathbb{N}$ .
La probabilité d'avoir $n$ photons suit une loi de Boltzmann : $p_n \propto e^{-nh\nu / (k_B T)}$ .

L'énergie moyenne d'un mode est alors :

\langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_BT)} - 1}

2.3. Produit densité de modes × énergie moyenne

La densité d'énergie spectrale $u(\nu, T)$ est alors :

u(\nu, T)d\nu = g(\nu) \langle E \rangle d\nu

Substitution :

u(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \times \frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_BT)} - 1}

Ce qui donne :

\boxed{u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/(k_BT)} - 1}}

C'est la loi de Planck en fonction de la fréquence.

2.4. Passage à la longueur d'onde

Utilisation de $\nu = c/\lambda$ et changement de variable :

u(\lambda, T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k_BT)} - 1}

Enfin, pour la luminance énergétique $B(\lambda, T)$ (puissance émise par unité de surface et d'angle solide) :

\boxed{B(\lambda, T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k_BT)} - 1}}

3. Interprétation physique

À haute température $(T \to \infty)$ , la loi de Planck tend vers la loi de Rayleigh-Jeans (classique).
À courtes longueurs d'onde, $e^{hc/(\lambda k_BT)}$ devient grand la puissance chute pas de catastrophe ultraviolette.
Le maximum d'émission se déplace vers les courtes longueurs d'onde quand $T$ augmente (loi de Wien).

4. Résumé

Quantité	Expression
Densité spectrale $u(\nu, T)$	$u(\nu,T)=\dfrac{8\pi h \nu^{3}}{c^{3}}\;\dfrac{1}{e^{h\nu/(k_B T)}-1}$
Densité spectrale $u(\lambda, T)$	$u(\lambda,T)=\dfrac{8\pi h c}{\lambda^{5}}\;\dfrac{1}{e^{hc/(\lambda k_B T)}-1}$
Luminance énergétique $B(\lambda, T)$	$B(\lambda,T)=\dfrac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\;\dfrac{1}{e^{hc/(\lambda k_B T)}-1}$