Loi de Newton de la Viscosité

La loi de Newton de la viscosité décrit le comportement des fluides newtoniens, pour lesquels la contrainte visqueuse est proportionnelle au taux de déformation.

1. Définition et Formulation

Pour un fluide newtonien, le tenseur des contraintes visqueuses $\tau$ est donné par :

\boxed{\tau = 2\,\mu\,D}

où :

$\mu$ est la viscosité dynamique (constante),
$D = \tfrac12(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T)$ est le tenseur des déformations.

En composantes :

\boxed{\tau_{ij} = \mu\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr)}

(pour un fluide incompressible, $\nabla\cdot\vec v=0$ ).

2. Interprétation Physique

La loi de Newton postule que la force de friction interne entre deux couches de fluide est linéairement liée à leur vitesse de glissement relative.

Petit $\mu$ : faible résistance, écoulement plus facile.
Grand $\mu$ : forte résistance, écoulement ralenti. Cette relation traduit la proportionnalité entre la contrainte et le taux de déformation, sans seuil ni non‑linéarité.

3. Démonstration de la Formule

A. Tenseur des déformations : On part du gradient de vitesse :

(\nabla\vec v)_{ij} = \frac{\partial v_i}{\partial x_j}.

On symétrise pour éliminer les rotations :

D_{ij} = \frac12\Bigl(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\Bigr).

B. Proportionnalité : On observe expérimentalement que, pour de nombreux fluides (air, eau, huiles), la composante de contrainte visqueuse est proportionnelle à $D_{ij}$ :

\tau_{ij} \propto D_{ij}.

C. Définition de la viscosité : Le coefficient de proportionnalité $\mu$ est défini comme la viscosité dynamique, d'unité $Pa·s$ . On pose alors :

\tau_{ij} = 2\,\mu\,D_{ij}.

4. Exemple Simple : Écoulement de Couette

Pour un écoulement de Couette entre deux plaques parallèles, la vitesse varie linéairement :

\vec v = (\dot\gamma\,y, 0, 0).

Alors :

D = \frac12 \begin{pmatrix} 0 & \dot\gamma & 0 \dot\gamma & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \tau_{12} = \mu\,\dot\gamma.

La contrainte de cisaillement est $\tau_{12} = \mu\,\dot\gamma$ , montrant la linéarité.