Loi de Maxwell-Boltzmann

La loi de Maxwell-Boltzmann décrit comment les particules d'un gaz parfait se répartissent selon leur vitesse à l'équilibre thermique.

Elle permet de comprendre l'agitation thermique à l'échelle microscopique.

La loi donne la densité de probabilité ( f(v) ) qu'une particule ait une vitesse de norme $v$ , à une température $T$ :

\boxed{ f(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{- \frac{m v^2}{2k_B T} } }

où :

$m$ : masse d'une particule,
$T$ : température absolue,
$k_B$ : constante de Boltzmann.

Cette loi se déduit de la distribution de Boltzmann, sans supposer à l'avance le théorème d'équipartition.

1. Origine statistique : distribution de Boltzmann

À l'équilibre thermique, la probabilité d'occuper un état d'énergie $E$ est donnée par :

P(E) \propto e^{-E/(k_B T)}

Ce principe s'applique à l'énergie cinétique des particules d'un gaz parfait.

2. Démonstration de la loi de Maxwell-Boltzmann

2.1. Énergie cinétique et vitesse vectorielle

L'énergie d'une particule de masse $m$ se déplaçant à la vitesse $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ est :

E = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)

Selon la distribution de Boltzmann :

f(v_x, v_y, v_z) \propto e^{- \frac{m}{2k_B T}(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}

Cette fonction est séparable en trois directions :

f(v_x, v_y, v_z) = f_x(v_x) \cdot f_y(v_y) \cdot f_z(v_z)

2.2. Démonstration : loi normale pour chaque composante

Chaque composante suit une loi normale centrée :

f_x(v_x) = \sqrt{ \frac{m}{2\pi k_B T} } \cdot e^{- \frac{m v_x^2}{2k_B T} }

Même forme pour $f_y(v_y)$ et $f_z(v_z)$ .

Cela traduit le caractère aléatoire et isotrope de la vitesse dans chaque direction.

2.3. Densité de probabilité du module de la vitesse

On passe en coordonnées sphériques :

v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2

Après intégration angulaire, on obtient la densité de probabilité du module $v = \|\vec{v}\|$ :

f(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{- \frac{m v^2}{2k_B T} }

Cette forme est déjà présentée au début de l'article pour plus de clarté.

3. Vitesses caractéristiques

Nom	Formule	Interprétation
Vitesse la plus probable	$v_p = \sqrt{\dfrac{2 k_B T}{m}}$	Sommet de la courbe $f(v)$
Vitesse moyenne	$\overline v = \sqrt{\dfrac{8 k_B T}{\pi m}}$	Moyenne statistique des vitesses
Vitesse quadratique moyenne	$v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\dfrac{3 k_B T}{m}}$	Liée à l'énergie cinétique moyenne

Ces vitesses augmentent toutes avec la température, mais selon des facteurs différents.

4. Énergie cinétique moyenne

En intégrant l'énergie cinétique pondérée par la loi ( f(v) ), on trouve :

\langle E_c \rangle = \frac{1}{2}m \cdot \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2}k_B T

Cette formule justifie le théorème d'équipartition de l'énergie pour un gaz parfait monoatomique.

🔍 5. Exemple numérique

Gaz : azote $\text{N}_2$
Température : $T = 300\,K$
Masse molaire : $m \approx 4{,}65 \times 10^{-26}\,kg$

Vitesse quadratique moyenne :

v_{rms} = \sqrt{ \frac{3k_B T}{m} } \approx 517\,\mathrm{m/s}

Les molécules d'air se déplacent à plus de 500 m/s à température ambiante.