Le Lagrangien et le principe de moindre action

Le formalisme lagrangien constitue l’un des piliers de la mécanique analytique et, plus largement, de la physique théorique moderne.
Il propose une formulation de la dynamique non plus en termes de forces, mais en termes d’énergies et d’un principe variationnel : le principe de moindre action.

Ce texte présente :

la définition du lagrangien,
le principe de moindre action,
une démonstration détaillée des équations d’Euler–Lagrange,
quelques exemples simples et une mise en perspective.

1. Motivation : pourquoi un nouveau formalisme ?

En mécanique newtonienne, la dynamique est décrite par

\vec{F} = m \vec{a}

Ce cadre fonctionne très bien tant que :

les forces sont faciles à exprimer,
la géométrie du problème reste simple (coordonnées cartésiennes, peu de contraintes),
le nombre de degrés de liberté n’explose pas.

Dès que l’on traite :

des systèmes multi-corps,
des coordonnées curvilignes (polaires, cylindriques, sphériques…),
des systèmes avec contraintes,

la méthode newtonienne devient vite lourde.

Le formalisme lagrangien contourne ces difficultés en reformulant la dynamique à partir d’une fonction scalaire, le lagrangien.

2. Définition du lagrangien

Considérons un système mécanique décrit par des coordonnées généralisées $q_k$ :

q = (q_1, q_2, \dots, q_n)

et leurs dérivées temporelles :

\dot{q} = (\dot{q}_1, \dot{q}_2, \dots, \dot{q}_n)

En mécanique classique, le lagrangien est :

L(q, \dot{q}, t) = T(q, \dot{q}) - V(q, t)

où $T$ est l’énergie cinétique et $V$ l’énergie potentielle.

3. L’action et le principe de moindre action

3.1. Définition de l’action

L’action est l’intégrale temporelle du lagrangien :

S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t), \dot{q}(t), t)\, dt

C’est une fonctionnelle, c’est-à-dire une fonction qui dépend d’une fonction.

3.2. Principe de moindre action

La trajectoire réelle d’un système est celle qui rend l’action stationnaire :

\delta S = 0

avec des variations nulles aux bornes :

\delta q_k(t_1) = \delta q_k(t_2) = 0

4. Démonstration détaillée des équations d’Euler–Lagrange

Nous allons montrer que $\delta S = 0$ implique :

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0

4.1. Début : la variation de la trajectoire

On considère des trajectoires voisines :

q_k^{(\varepsilon)}(t) = q_k(t) + \varepsilon \eta_k(t)

avec $\eta_k(t_1) = \eta_k(t_2) = 0$ .

La dérivée varie comme :

\dot{q}_k^{(\varepsilon)}(t) = \dot{q}_k(t) + \varepsilon \dot{\eta}_k(t)

4.2. Variation de l’action

S[\varepsilon] = \int_{t_1}^{t_2} L(q^{(\varepsilon)}, \dot{q}^{(\varepsilon)}, t)\, dt

La variation est donc :

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q_k}\eta_k + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\dot{\eta}_k \right) dt

4.3. Intégration par parties

\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \dot{\eta}_k \, dt = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\eta_k\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\eta_k dt

Le terme de bord est nul car $\eta_k(t_1)=\eta_k(t_2)=0$ .

4.4. Expression finale

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) \right]\eta_k(t)\, dt

4.5. Argument de nullité

Comme $\eta_k$ est arbitraire (sauf aux bornes), on doit avoir :

\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) = 0

5. Exemples simples

5.1. Particule libre en 1D

Énergie cinétique $T = \tfrac12 m\dot{x}^2$ , potentiel nul.

L = \tfrac12 m \dot{x}^2

D’où :

$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$
$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}$
$\frac{d}{dt}(m\dot{x}) = m\ddot{x}$

Équation du mouvement :

\ddot{x} = 0

5.2. Oscillateur harmonique

L = \tfrac12 m \dot{x}^2 - \tfrac12 k x^2

On obtient :

m\ddot{x} + kx = 0

5.3. Pendule simple

L = \tfrac12 m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1-\cos\theta)

Équation obtenue :

\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0

6. Coordonnées généralisées et contraintes

Un système avec contrainte $f(q,t)=0$ peut être traité avec un lagrangien étendu :

L' = L + \lambda f(q,t)

La variation par rapport à $\lambda$ impose la contrainte.

7. Résumé

Le lagrangien $L = T - V$ condense la dynamique.
L’action est $S[q] = \int L\,dt$ .
Le principe $\delta S = 0$ conduit aux équations d’Euler–Lagrange.
Le formalisme convient parfaitement aux systèmes complexes, aux contraintes et aux coordonnées généralisées.