Dérivées et Différentiabilité

La dérivée d'une fonction mesure le taux de variation d'une fonction en un point donné. Elle est à la base du calcul différentiel et joue un rôle fondamental en analyse et en physique.

Plus simplement la dérivée d'une fonction $f(x)$ , est une autre fonction $f'(x)$ qui est souvent signalée par le petit '. Cette fonction $f'(x)$ représente comment évolue la fonction $f(x)$ (Baisse, augmente).

Par exemple, on donne une fonction $f(x)$ quelconque (graph du dessus), la droite qu'on peu bouger est la tangente en un point. La dérivée $f'(x)$ (graph du dessous) montre la variation de $f(x)$ .

1. Définition

Soit $f(x)$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . La dérivée de $f$ en $a$ est donnée par la limite suivante :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Si cette limite existe, alors la fonction est dite différentiable en $a$ .

2. Règles de Dérivation

Les dérivées des fonctions usuelles :

Fonction	Dérivée	Conditions
$c$	$0$	—
$x$	$1$	—
$x^n$	$n\,x^{\,n-1}$	$n\in\mathbb{R}$ (et si $n<1$ Attention au domaine
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^{2}}$	$x\neq 0$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x>0$
$e^{x}$	$e^{x}$	—
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	$a>0,\ a\neq 1$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x>0$
$\ln	x	$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^{2}x}$	$x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\lvert x\rvert<1$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\lvert x\rvert<1$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^{2}}$	—

Les règles fondamentales de dérivation :

Somme :

(f + g)' = f' + g'

Produit :

(fg)' = f'g + fg'

Quotient :

\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Règle de la chaîne (composée) :

(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'

Interprétation géométrique :

Si $f'(a) > 0$ , la fonction est croissante en $a$ .
Si $f'(a) < 0$ , la fonction est décroissante en $a$ .
Si $f'(a) = 0$ , on peut avoir un point stationnaire (un extremum local).

3. Démonstration de la Dérivée

La dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$ est définie comme la limite du taux de variation lorsque $h$ tend vers zéro.

1️ - Taux de variation

Sur le graphique ci-dessous, on observe la pente comme étant la droite verte reliant les points A et M :

Sur le graphique deux points sont présents sur la courbe $\mathcal{C}_f$ :

$A(a, f(a))$ , un point initial.
$M(a+h, f(a+h))$ , un second point distant de $h$ sur l'axe $x$ .

L'équation de la droite (sécante) passant par A et M est donnée par la forme réduite d'une droite :

y - f(a) = m (x - a)

où $m$ est la pente de la sécante, que nous cherchons à déterminer.

La pente $m$ est obtenue en remplaçant les coordonnées du point $M(a+h, f(a+h))$ dans l'équation de la droite :

f(a+h) - f(a) = m ((a+h) - a)

Puisque $(a+h) - a = h$ , on obtient :

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

C'est précisément la formule du taux de variation :

TV = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Ce taux représente la pente moyenne entre les points $A$ et $M$ .

2️ - Passage à la limite : définition de la dérivée

Si la fonction $f(x)$ est dérivable en $a$ , alors le taux de variation se rapproche de la tangente en $A$ lorsque $h \to 0$ .

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Sur le graphique :

La sécante (en vert) devient la tangente (en vert) lorsque $h \to 0$ .
La pente de cette tangente représente la dérivée de $f$ en $a$ .

4. Exemples

Exemple 1 : Dérivée de $f(x) = x^3 + 5x - 7$

f'(x) = 3x^2 + 5

Exemple 2 : Dérivée de $g(x) = \sin(2x)$

g'(x) = 2\cos(2x)

Exemple 3 : Dérivée de $h(x) = \frac{x^2}{x+1}$

h'(x) = \frac{(2x)(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

5. Différentiabilité et Continuité

Si une fonction est dérivable en $a$ , alors elle est continue en $a$ , mais l'inverse n'est pas toujours vrai !

Exemple :
La fonction $f(x) = \|x\|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ , car :

\lim_{h \to 0^+} \frac{\|h\| - 0}{h} = 1, \quad \lim_{h \to 0^-} \frac{\|-h\| - 0}{h} = -1

Les limites sont différentes, donc $f'(0)$ n’existe pas.

6. Dérivée partielle

La dérivée partielle mesure la variation d'une fonction de plusieurs variables lorsque une seule variable varie, les autres étant fixées.
Définition : Soit $f(x,y,\dots)$ . La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ en $(a,b,\dots)$ est :

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b,\dots)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b,\dots)-f(a,b,\dots)}{h}

Démonstration :

On fixe $y=b$ et on pose $g(x)=f(x,b)$ .
La dérivée de $g$ en $a$ est :
$g'(a)=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$

Exemple : $f(x,y)=x^2y+\sin(y)$

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$ .
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+\cos(y)$ .

Cas d'utilisation de la dérivée partielle : Différentielle totale (scalaire) : pour

f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

df(a)[h] = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\,h_i

Règle de la chaîne (multivariable → scalaire) : si

u(t)=f(x(t),y(t),\dots)

\frac{du}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \cdots

Dérivée totale (via gradient) :

\frac{du}{dt} = \nabla f(x(t),y(t),\dots)\cdot \begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \vdots \end{pmatrix}