Opérateur	Formule	Description
Nabla	$\nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\\\[4mm] \frac{\partial}{\partial y} \\\\[4mm] \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}$	L'opérateur nabla est un outil fondamental en analyse vectorielle, utilisé pour définir le gradient, la divergence et le rotationnel d'une fonction ou d'un champ.
Gradient	$\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\\\[4mm] \frac{\partial f}{\partial y} \\\\[4mm] \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}$	Appliqué à une fonction scalaire $f(x,y,z)$, le gradient donne un champ vectoriel indiquant la direction de la plus forte augmentation de $f$.
Divergence	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$	Pour un champ vectoriel $\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_1 \\\\[2mm] F_2 \\\\[2mm] F_3 \end{pmatrix}$, la divergence mesure l'expansion (ou la contraction) du champ en un point.
Rotationnel	$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} \\\\[4mm] \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} \\\\[4mm] \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \end{pmatrix}$	Pour $\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_1 \\\\[2mm] F_2 \\\\[2mm] F_3 \end{pmatrix}$, le rotationnel mesure la rotation locale du champ en un point donné.
Laplacien	$\Delta f = \nabla \cdot (\nabla f)$	Le Laplacien d'une fonction scalaire $f$ est la divergence de son gradient ; il intervient dans l’étude de phénomènes comme la diffusion et les équations de la chaleur.
Trace	$\mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^{3} A_{ii}$	La trace d’un tenseur d’ordre 2 (ou matrice 3×3) est la somme de ses composantes diagonales.
Double Contraction	$A : B = \sum_{i,j} A_{ij}\,B_{ij}$	La double contraction entre deux tenseurs d’ordre 2 $A$ et $B$ donne un scalaire égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes.

Opérateur	Identité / Propriété	Remarques
Rotationnel du Gradient	$\nabla \times (\nabla f) = 0$	Implique que les champs conservatifs n'ont pas de rotation locale.
Divergence du Rotationnel	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$	Utilisée pour simplifier les équations en électromagnétisme.
Double Rotationnel	$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}) - \Delta \mathbf{F}$	Relie la divergence, le rotationnel et le Laplacien.
Linéarité Globale	$\nabla (a f + b g) = a\,\nabla f + b\,\nabla g$	S'applique aux opérateurs gradient, divergence et rotationnel.
Dérivée directionnelle	$(V \cdot \nabla)f = \nabla f \cdot V$	Opérateur appliqué à $f$, donne la variation de $f$ dans la direction du champ $V$.
Non-commutativité	$V \cdot \nabla \neq \nabla \cdot V$	Le premier est un opérateur, le second une fonction scalaire ; ne pas confondre !
Divergence du produit vectoriel	$\nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B)$	Identité clé des opérateurs, antisymétrique dans $A, B$.