Cette fiche synthétise les notions fondamentales utilisées en systèmes embarqués aéronautiques et missiles :

Navigation (estimation d’état)
Guidage (génération de trajectoire)
Contrôle / Pilotage (stabilisation et suivi)
Automatique linéaire (PID, stabilité, Bode)
Filtrage (Kalman)

Elle permet d’analyser les compromis :

rapidité / stabilité
précision / robustesse
performance temporelle / fréquentielle

Navigation → déterminer où je suis
Guidage → déterminer où je dois aller
Contrôle / Pilotage → déterminer comment j’y vais

La chaîne GNC fournit :

position
vitesse
attitude
accélération
consignes pour les actionneurs

2. Repères

2.1. Repère inertiel

Repère fixe par rapport aux étoiles.

2.2. Repère ECEF (Earth Centered Earth Fixed)

Repère lié à la Terre, en rotation.

2.3. Trièdre Géographique Local (TGL)

Repère local tangent à la surface terrestre.

Axes :

$x_G$ : Nord
$y_G$ : Est
$z_G$ : Up

Passage :

\text{ECEF} \rightarrow \text{TGL}

2.4. Repère Body

Repère lié au missile.

Axes :

$X_B$ : avant
$Y_B$ : droite
$Z_B$ : bas

Passage :

\text{TGL} \rightarrow \text{Body}

L’attitude est définie par la matrice de rotation :

\boxed{R_B^G}

3. Attitude

L’attitude décrit l’orientation du missile.

Elle peut être représentée par :

angles d’Euler
quaternions
matrice de rotation

Les angles d’Euler définissent le passage :

\boxed{\text{TGL} \rightarrow \text{Body}}

4. IMU (Inertial Measurement Unit)

4.1. Gyroscopes

Mesurent la vitesse angulaire :

\boxed{\boldsymbol{\omega}_{B/I}}

Types :

Gyro laser (RLG)
Gyro à résonateur hémisphérique (HRG)
Gyro vibrant
Gyro mécanique

4.2. Accéléromètres

Mesurent la force spécifique :

\boxed{\mathbf{f} = \mathbf{a} - \mathbf{g}}

La position est obtenue par double intégration.

Fusion de capteurs :

GNSS → position, vitesse
Centrale inertielle → attitude, accélérations
Radio-altimètre → altitude
Capteurs vision → recalage

Objectif :

Limiter la dérive inertielle par recalage périodique.

6. Estimation d’état

6.1. Erreur d’estimation

\boxed{\delta X = X - \hat{X}}

Covariance :

\boxed{P = E[\delta X \delta X^T]}

$P$ représente la zone d’incertitude.

6.2. Filtre de Kalman (principe)

Deux phases :

Prédiction
Correction

Objectif :

minimiser $\delta X$
faire converger $P$

Hypothèse :

distribution gaussienne.

7. Modélisation automatique

7.1. Fonction de transfert

\boxed{H(p)=\frac{Y(p)}{E(p)}}

7.2. Boucle fermée

\boxed{T(p)=\frac{BO(p)}{1+BO(p)}}

avec

\boxed{BO(p)=C(p)H(p)}

La stabilité dépend des pôles de :

1+BO(p)=0

8. Réponse temporelle

8.1. Premier ordre

\boxed{H(p)=\frac{K}{1+\tau p}}

Temps de réponse 5 % :

\boxed{T_{5\%}\approx3\tau}

8.2. Deuxième ordre

\boxed{H(p)=\frac{K}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}}

Paramètres :

$\omega_0$ : pulsation propre
$\xi$ : amortissement

Dépassement

\boxed{D_1=e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}}

Compromis classique :

\xi \approx 0{,}7

9. Précision – Erreurs statiques

Constantes :

\boxed{K_p=\lim_{p\to0}BO(p)}

\boxed{K_v=\lim_{p\to0}pBO(p)}

\boxed{K_a=\lim_{p\to0}p^2BO(p)}

Erreurs :

\boxed{\varepsilon_0=\frac{1}{1+K_p}}

\boxed{\varepsilon_1=\frac{1}{K_v}}

Classe du système :

\boxed{BO(p)\sim\frac{1}{p^\alpha}}

$\alpha$ = nombre d’intégrateurs.

10. Correcteurs

10.1. P

\boxed{C(p)=K}

Effet :

rapidité ↑
précision ↑
stabilité ↓ si gain trop élevé

10.2. PI

\boxed{C(p)=K_c\left(1+\frac{1}{T_ip}\right)}

Supprime erreur statique échelon.

10.3. PD

\boxed{C(p)=K(1+T_dp)}

Augmente amortissement.

10.4. PID

\boxed{C(p)=K\left(1+\frac{1}{T_ip}+T_dp\right)}

P : rapidité
I : précision
D : stabilité

11. Analyse fréquentielle (Bode)

11.1. Intégrateur

\boxed{H(p)=\frac{K}{p}}

Gain :

\boxed{|H(j\omega)|=20\log\frac{K}{\omega}}

Phase :

\boxed{-90^\circ}

11.2. Marges

Pulsation de coupure :

\boxed{|BO(j\omega_0)|=1}

Marge de phase :

\boxed{MP=180^\circ+\arg(BO(j\omega_0))}

Marge de gain :

\boxed{MG=-20\log|BO(j\omega_{-180})|}

Compromis typique :

MP ≈ 45°–60°
compromis rapidité / stabilité

12. Forme générale boucle ouverte

\boxed{ BO(p)=\frac{K}{p^\alpha} \frac{N(p)} {\prod_i(1+\tau_i p) \prod_j\left(1+\frac{2\xi_j}{\omega_{0j}}p+\frac{p^2}{\omega_{0j}^2}\right)} }

où :

$\alpha$ : classe
$\tau_i$ : constantes de temps
$\xi_j$ : amortissements

13. Vision système GNC

La chaîne complète est :

Navigation → Estimation d’état → Guidage → Loi de contrôle → Actionneurs

Les compromis fondamentaux sont :

stabilité vs rapidité
précision vs robustesse
bande passante vs bruit

Cette fiche synthétise les notions fondamentales utilisées en systèmes embarqués aéronautiques et missiles :

Navigation (estimation d’état)
Guidage (génération de trajectoire)
Contrôle / Pilotage (stabilisation et suivi)
Automatique linéaire (PID, stabilité, Bode)
Filtrage (Kalman)

Elle permet d’analyser les compromis :

rapidité / stabilité
précision / robustesse
performance temporelle / fréquentielle

Navigation → déterminer où je suis
Guidage → déterminer où je dois aller
Contrôle / Pilotage → déterminer comment j’y vais

La chaîne GNC fournit :

position
vitesse
attitude
accélération
consignes pour les actionneurs

2. Repères

2.1. Repère inertiel

Repère fixe par rapport aux étoiles.

2.2. Repère ECEF (Earth Centered Earth Fixed)

Repère lié à la Terre, en rotation.

2.3. Trièdre Géographique Local (TGL)

Repère local tangent à la surface terrestre.

Axes :

$x_G$ : Nord
$y_G$ : Est
$z_G$ : Up

Passage :

\text{ECEF} \rightarrow \text{TGL}

2.4. Repère Body

Repère lié au missile.

Axes :

$X_B$ : avant
$Y_B$ : droite
$Z_B$ : bas

Passage :

\text{TGL} \rightarrow \text{Body}

L’attitude est définie par la matrice de rotation :

\boxed{R_B^G}

3. Attitude

L’attitude décrit l’orientation du missile.

Elle peut être représentée par :

angles d’Euler
quaternions
matrice de rotation

Les angles d’Euler définissent le passage :

\boxed{\text{TGL} \rightarrow \text{Body}}

4. IMU (Inertial Measurement Unit)

4.1. Gyroscopes

Mesurent la vitesse angulaire :

\boxed{\boldsymbol{\omega}_{B/I}}

Types :

Gyro laser (RLG)
Gyro à résonateur hémisphérique (HRG)
Gyro vibrant
Gyro mécanique

4.2. Accéléromètres

Mesurent la force spécifique :

\boxed{\mathbf{f} = \mathbf{a} - \mathbf{g}}

La position est obtenue par double intégration.

Fusion de capteurs :

GNSS → position, vitesse
Centrale inertielle → attitude, accélérations
Radio-altimètre → altitude
Capteurs vision → recalage

Objectif :

Limiter la dérive inertielle par recalage périodique.

6. Estimation d’état

6.1. Erreur d’estimation

\boxed{\delta X = X - \hat{X}}

Covariance :

\boxed{P = E[\delta X \delta X^T]}

$P$ représente la zone d’incertitude.

6.2. Filtre de Kalman (principe)

Deux phases :

Prédiction
Correction

Objectif :

minimiser $\delta X$
faire converger $P$

Hypothèse :

distribution gaussienne.

7. Modélisation automatique

7.1. Fonction de transfert

\boxed{H(p)=\frac{Y(p)}{E(p)}}

7.2. Boucle fermée

\boxed{T(p)=\frac{BO(p)}{1+BO(p)}}

avec

\boxed{BO(p)=C(p)H(p)}

La stabilité dépend des pôles de :

1+BO(p)=0

8. Réponse temporelle

8.1. Premier ordre

\boxed{H(p)=\frac{K}{1+\tau p}}

Temps de réponse 5 % :

\boxed{T_{5\%}\approx3\tau}

8.2. Deuxième ordre

\boxed{H(p)=\frac{K}{1+\frac{2\xi}{\omega_0}p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}}

Paramètres :

$\omega_0$ : pulsation propre
$\xi$ : amortissement

Dépassement

\boxed{D_1=e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}}

Compromis classique :

\xi \approx 0{,}7

9. Précision – Erreurs statiques

Constantes :

\boxed{K_p=\lim_{p\to0}BO(p)}

\boxed{K_v=\lim_{p\to0}pBO(p)}

\boxed{K_a=\lim_{p\to0}p^2BO(p)}

Erreurs :

\boxed{\varepsilon_0=\frac{1}{1+K_p}}

\boxed{\varepsilon_1=\frac{1}{K_v}}

Classe du système :

\boxed{BO(p)\sim\frac{1}{p^\alpha}}

$\alpha$ = nombre d’intégrateurs.

10. Correcteurs

10.1. P

\boxed{C(p)=K}

Effet :

rapidité ↑
précision ↑
stabilité ↓ si gain trop élevé

10.2. PI

\boxed{C(p)=K_c\left(1+\frac{1}{T_ip}\right)}

Supprime erreur statique échelon.

10.3. PD

\boxed{C(p)=K(1+T_dp)}

Augmente amortissement.

10.4. PID

\boxed{C(p)=K\left(1+\frac{1}{T_ip}+T_dp\right)}

P : rapidité
I : précision
D : stabilité

11. Analyse fréquentielle (Bode)

11.1. Intégrateur

\boxed{H(p)=\frac{K}{p}}

Gain :

\boxed{|H(j\omega)|=20\log\frac{K}{\omega}}

Phase :

\boxed{-90^\circ}

11.2. Marges

Pulsation de coupure :

\boxed{|BO(j\omega_0)|=1}

Marge de phase :

\boxed{MP=180^\circ+\arg(BO(j\omega_0))}

Marge de gain :

\boxed{MG=-20\log|BO(j\omega_{-180})|}

Compromis typique :

MP ≈ 45°–60°
compromis rapidité / stabilité

12. Forme générale boucle ouverte

\boxed{ BO(p)=\frac{K}{p^\alpha} \frac{N(p)} {\prod_i(1+\tau_i p) \prod_j\left(1+\frac{2\xi_j}{\omega_{0j}}p+\frac{p^2}{\omega_{0j}^2}\right)} }

où :

$\alpha$ : classe
$\tau_i$ : constantes de temps
$\xi_j$ : amortissements

13. Vision système GNC

La chaîne complète est :

Navigation → Estimation d’état → Guidage → Loi de contrôle → Actionneurs

Les compromis fondamentaux sont :

stabilité vs rapidité
précision vs robustesse
bande passante vs bruit

Fiche Complète – Guidage, Navigation & Contrôle (GNC)

1. Navigation – Guidage – Pilotage

2. Repères

2.1. Repère inertiel

2.2. Repère ECEF (Earth Centered Earth Fixed)

2.3. Trièdre Géographique Local (TGL)

2.4. Repère Body

3. Attitude

4. IMU (Inertial Measurement Unit)

4.1. Gyroscopes

4.2. Accéléromètres

5. Navigation hybride

6. Estimation d’état

6.1. Erreur d’estimation

6.2. Filtre de Kalman (principe)

7. Modélisation automatique

7.1. Fonction de transfert

7.2. Boucle fermée

8. Réponse temporelle

8.1. Premier ordre

8.2. Deuxième ordre

Dépassement

9. Précision – Erreurs statiques

10. Correcteurs

10.1. P

10.2. PI

10.3. PD

10.4. PID

11. Analyse fréquentielle (Bode)

11.1. Intégrateur

11.2. Marges

12. Forme générale boucle ouverte

13. Vision système GNC

Fiche Complète – Guidage, Navigation & Contrôle (GNC)

1. Navigation – Guidage – Pilotage

2. Repères

2.1. Repère inertiel

2.2. Repère ECEF (Earth Centered Earth Fixed)

2.3. Trièdre Géographique Local (TGL)

2.4. Repère Body

3. Attitude

4. IMU (Inertial Measurement Unit)

4.1. Gyroscopes

4.2. Accéléromètres

5. Navigation hybride

6. Estimation d’état

6.1. Erreur d’estimation

6.2. Filtre de Kalman (principe)

7. Modélisation automatique

7.1. Fonction de transfert

7.2. Boucle fermée

8. Réponse temporelle

8.1. Premier ordre

8.2. Deuxième ordre

Dépassement

9. Précision – Erreurs statiques

10. Correcteurs

10.1. P

10.2. PI

10.3. PD

10.4. PID

11. Analyse fréquentielle (Bode)

11.1. Intégrateur

11.2. Marges

12. Forme générale boucle ouverte

13. Vision système GNC