Système Général des Équations de Navier-Stokes

Les équations de Navier-Stokes sont essentielles pour la modélisation des fluides dans des phénomènes complexes, notamment lorsqu'il s'agit de fluides compressibles et non-newtoniens. Ces équations décrivent l'évolution du mouvement d'un fluide en tenant compte de sa densité, de sa vitesse, de la pression et de ses propriétés visqueuses. Elles sont généralement formulées comme un système d'équations différentielles partielles.

Pour un fluide compressible et non-newtonien, le système d'équations de Navier-Stokes prend une forme plus générale que dans le cas d'un fluide incompressible et newtonien.

1. Équations de Navier-Stokes Générales

Dans le cas d'un fluide compressible et non-newtonien, les équations de Navier-Stokes se décomposent en plusieurs parties : la conservation de la quantité de mouvement, la conservation de la masse et la conservation de l'énergie.

Le système des équations générales de Navier-Stokes pour un fluide compressible et non-newtonien est donné par :

1. Conservation de la masse (équation de continuité) :

\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 }

Où :

$\rho$ est la densité du fluide,
$\mathbf{v}$ est le vecteur vitesse du fluide.

Cette équation exprime la conservation de la masse, indiquant que le fluide est incompressible si $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ , mais peut être compressible si $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) \neq 0$ .

2. Conservation de la quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) :

\boxed{ \rho\,\bigl( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \nabla\cdot\tau + \mathbf{f} }

Où :

$p$ est la pression du fluide,
$\tau$ est le tenseur des contraintes visqueuses,
$\mathbf{f}$ est le vecteur des forces externes (par exemple, la gravité).

Le terme $\sigma$ (le tenseur des contraintes) représente les effets de la viscosité du fluide. Dans le cas d'un fluide non-newtonien, la forme de $\sigma$ peut être plus complexe que pour un fluide newtonien. Elle dépend généralement de l'historique de déformation du fluide et peut être modélisée par des relations empiriques ou théoriques spécifiques à chaque type de fluide.

3. Conservation de l’énergie :

L'équation de conservation de l'énergie modélise la distribution de l'énergie dans le fluide. Elle prend la forme suivante :

\boxed{ \frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \bigl( \mathbf{v}(e + p) \bigr) = \nabla \cdot (\kappa\,\nabla T) + \Phi + Q }

Où :

$e$ est l'énergie interne par unité de volume,
$p$ est la pression,
$\mathbf{v}$ est le vecteur vitesse du fluide,
$\kappa$ est la conductivité thermique,
$T$ est la température,
$\Phi$ est la dissipation visqueuse (générée par les forces de viscosité),
$Q$ représente les sources de chaleur externes.

Cette équation permet de prendre en compte l'effet de la chaleur et de l'énergie dans l'écoulement du fluide, ainsi que les effets thermiques.

2. Équations de Navier-Stokes pour un Fluide Compressible et Non-Newtonien

En combinant les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, et de l'énergie, avec la modélisation du tenseur des contraintes pour un fluide non-newtonien, nous obtenons le système complet d'équations de Navier-Stokes pour un fluide compressible et non-newtonien.

Le système est le suivant :

1. Conservation de la masse (équation de continuité) :

\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0}

2. Conservation de la quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) :

\boxed{ \rho\bigl( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \nabla\cdot\tau + \mathbf{f} }

3. Conservation de l’énergie :

\boxed{ \frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \bigl( \mathbf{v}(e + p) \bigr) = \nabla \cdot (\kappa\,\nabla T) + \Phi + Q }

3. Simplifications Courantes des Équations de Navier-Stokes

Les équations de Navier-Stokes peuvent devenir extrêmement complexes, surtout lorsqu'il s'agit de fluides compressibles et non-newtoniens. Toutefois, dans de nombreux cas pratiques, certaines simplifications peuvent être appliquées pour rendre le système plus tractable. Ces simplifications dépendent des caractéristiques spécifiques du problème physique étudié.

Voici quelques-unes des simplifications les plus courantes et leur impact sur les équations de Navier-Stokes.

3.1. Simplifications pour un Fluide Incompressible

Dans de nombreux cas, les fluides sont Incompressibles, c'est-à-dire que leur densité $\rho$ ne varie pas au cours du temps. Cela se produit, par exemple, dans les écoulements d'eau ou d'air à basse vitesse. Pour un fluide Incompressible, la Densité $\rho$ est constante et l'équation de continuité devient :

\nabla \cdot \mathbf{v} = 0

Cela simplifie l'équation de Navier-Stokes, car le terme de conservation de la masse est réduit à une condition de divergence nulle du vecteur vitesse.

Ainsi, l'équation de Navier-Stokes pour un fluide incompressible ET non-newtonien devient :

\boxed{ \rho\,\bigl( \partial_t \mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + 2\,\bigl[\, D\cdot\nabla\eta(\gamma) + \eta(\gamma)\,\nabla^2\mathbf{v} \,\bigr] + \mathbf{f} }

Pour un fluide incompressible ET Newtonien :

\boxed{ \rho\,\bigl( \partial_t \mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\mathbf{v} + \mathbf{f} }

3.1.1. Démonstration pour un fluide Incompressible $\nabla\cdot\vec v=0$ et Non‑Newtonien

Le tenseur des contraintes s'écrit généralement :

\sigma = -p\,\mathbf{I} + \tau(D),

avec

\tau(D) = 2\,\eta(\gamma)\,D, \quad D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr), \quad \gamma = \sqrt{2\,D:D}.

1. Divergence de $-p\,\mathbf I$ :

\nabla\cdot(-p\,\mathbf I) = -\nabla p.

2. Divergence de $\tau$ :

\nabla\cdot\tau = \nabla\cdot\bigl(2\,\eta(\gamma)\,D\bigr).

3. Développement ( $\eta$ dépend de $\gamma$ ) :

\nabla\!\cdot\tau = 2\,\nabla\!\cdot\bigl(\eta(\gamma)\,D\bigr) = 2\bigl[ D\cdot\nabla\eta(\gamma) + \eta(\gamma)\,\nabla\!\cdot D \bigr]

4. Simplification par incompressibilité :

\nabla\!\cdot D = \nabla\!\cdot\bigl(\tfrac12(\nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T})\bigr) = \nabla^2\vec{v}

puisque $\nabla\!\cdot\vec{v} = 0$ .

5. Forme finale :

\boxed{\nabla\!\cdot\sigma = -\,\nabla p + 2\bigl[ D\cdot\nabla\eta(\gamma) + \eta(\gamma)\,\nabla^2\vec{v} \bigr]}

Ainsi, pour un fluide non‑newtonien incompressible, la divergence du tenseur des contraintes ne se réduit plus à un simple laplacien, mais inclut un terme supplémentaire $2\,D\cdot\nabla\eta(\gamma)$ issu de la dépendance de la viscosité au taux de déformation.

3.1.2. Démonstration pour un Incompressible ET Newtonien

Le tenseur des contraintes de Cauchy $\sigma$ (pression + visqueux) se décompose en :

\sigma = -\,p\,I + \tau, \quad \tau = 2\,\mu\,D, \quad D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).

1. Forme de $\sigma$ :

\sigma = -\,p\,I + \mu\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).

2. Divergence de $\sigma$ :

\nabla\!\cdot\sigma = \nabla\!\cdot(-p\,I) + \nabla\!\cdot\tau = -\,\nabla p + \nabla\!\cdot\!\bigl( \mu\,(\nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T}) \bigr).

3. Visqueux seul ( $\nabla\cdot v=0$ ) :

\nabla\!\cdot\tau = \mu\,\nabla\!\cdot(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T) = \mu\bigl(\nabla^2\vec v + \nabla(\nabla\cdot\vec v)\bigr) = \mu\,\nabla^2\vec v.

4. Résultat final :

\nabla\!\cdot\sigma = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\vec v.

Ainsi, dans l'équation de Navier--Stokes incompressible :

\boxed{\rho\Bigl(\partial_t\vec v + (\vec v\cdot\nabla)\vec v\Bigr) = \nabla\!\cdot\sigma + \rho\,\vec f = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\vec v + \rho\,\vec f}

3.2. Simplifications pour un Fluide Newtonien

Si le fluide est newtonien, cela signifie que la viscosité $\eta$ est constante et indépendante du taux de déformation $\gamma$ . Dans ce cas, la forme du tenseur des contraintes $\sigma$ devient simple et linéaire :

\sigma = -\,p\,\mathbf{I} + \mu\,\bigl( \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \bigr)

Cette simplification implique que la viscosité $\mu$ est une constante et que la relation entre la contrainte et le taux de déformation est linéaire.

Dans ce cas, les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible et Newtonien prennent la forme suivante :

\boxed{ \rho\,\bigl( \partial_t \mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\mathbf{v} + \mathbf{f}}

Cette équation est couramment utilisée pour modéliser les écoulements simples dans des fluides comme l'eau ou l'air à faible vitesse.

3.3. Simplifications pour un Fluide Idéal (Fluide sans Viscosité)

Dans certains cas, notamment lorsqu'on travaille avec des fluides idéalisés ou dans le cadre de certains modèles de dynamique des fluides, la viscosité $\mu$ peut être négligée, ce qui donne un fluide idéal.

Dans ce cas, les équations de Navier-Stokes sont réduites à l'équation d'Euler, qui s'exprime ainsi :

\boxed{\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \mathbf{f}}

Cette forme est utilisée pour des fluides où les forces de viscosité sont négligeables, comme dans certains écoulements à grande échelle (par exemple, les vents à grande échelle dans l'atmosphère).

3.4. Simplifications pour un Fluide Stationnaire

Pour un écoulement stationnaire, on a $\frac{\partial \vec v}{\partial t}=0$ , quelle que soit la nature du fluide. L'équation de quantité de mouvement se réduit alors à sa forme générale :

\boxed{\rho\,(\vec v\cdot\nabla)\vec v = -\,\nabla p + \nabla\!\cdot\tau + \rho\,\vec f}

Note : Ce résultat (suppression du terme ∂ₜv) est valable pour tout fluide, newtonien ou non‑newtonien.

3.4.1. Fluide Newtonien Stationnaire

Si, en plus, le fluide est newtonien, on remplace $\tau=2\mu D$ et, sous incompressibilité, $\nabla\!\cdot\tau=\mu\nabla^2\vec v$ . On obtient :

\boxed{\rho\,(\vec v\cdot\nabla)\vec v = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\vec v + \rho\,\vec f}

Ainsi, la forme ci-dessus n'est spécifique qu'au fluide newtonien stationnaire (et incompressible).

3.5. Résultat du Système Simplifié

En appliquant ces simplifications, nous obtenons un système d'équations de Navier-Stokes beaucoup plus simple. Voici le système pour un fluide compressible et newtonien, stationnaire et incompressible avec une viscosité constante :

1. Équation de continuité (incompressible) :

\nabla \cdot \mathbf{v} = 0

2. Équation de Navier-Stokes (fluide newtonien et stationnaire) :

\rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}

Dans ce cas, la densité $\rho$ est constante, la viscosité $\mu$ est aussi constante, et les forces externes $\mathbf{f}$ peuvent inclure des forces comme la gravité.

Système Général des Équations de Navier-Stokes

Pour un fluide compressible et non-newtonien, le système d'équations de Navier-Stokes prend une forme plus générale que dans le cas d'un fluide incompressible et newtonien.

1. Équations de Navier-Stokes Générales

Le système des équations générales de Navier-Stokes pour un fluide compressible et non-newtonien est donné par :

1. Conservation de la masse (équation de continuité) :

\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 }

Où :

$\rho$ est la densité du fluide,
$\mathbf{v}$ est le vecteur vitesse du fluide.

2. Conservation de la quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) :

\boxed{ \rho\,\bigl( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \nabla\cdot\tau + \mathbf{f} }

Où :

$p$ est la pression du fluide,
$\tau$ est le tenseur des contraintes visqueuses,
$\mathbf{f}$ est le vecteur des forces externes (par exemple, la gravité).

3. Conservation de l’énergie :

L'équation de conservation de l'énergie modélise la distribution de l'énergie dans le fluide. Elle prend la forme suivante :

\boxed{ \frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \bigl( \mathbf{v}(e + p) \bigr) = \nabla \cdot (\kappa\,\nabla T) + \Phi + Q }

Où :

$e$ est l'énergie interne par unité de volume,
$p$ est la pression,
$\mathbf{v}$ est le vecteur vitesse du fluide,
$\kappa$ est la conductivité thermique,
$T$ est la température,
$\Phi$ est la dissipation visqueuse (générée par les forces de viscosité),
$Q$ représente les sources de chaleur externes.

Cette équation permet de prendre en compte l'effet de la chaleur et de l'énergie dans l'écoulement du fluide, ainsi que les effets thermiques.

2. Équations de Navier-Stokes pour un Fluide Compressible et Non-Newtonien

Le système est le suivant :

1. Conservation de la masse (équation de continuité) :

\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0}

2. Conservation de la quantité de mouvement (équation de Navier-Stokes) :

\boxed{ \rho\bigl( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \nabla\cdot\tau + \mathbf{f} }

3. Conservation de l’énergie :

\boxed{ \frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \bigl( \mathbf{v}(e + p) \bigr) = \nabla \cdot (\kappa\,\nabla T) + \Phi + Q }

3. Simplifications Courantes des Équations de Navier-Stokes

Voici quelques-unes des simplifications les plus courantes et leur impact sur les équations de Navier-Stokes.

3.1. Simplifications pour un Fluide Incompressible

\nabla \cdot \mathbf{v} = 0

Cela simplifie l'équation de Navier-Stokes, car le terme de conservation de la masse est réduit à une condition de divergence nulle du vecteur vitesse.

Ainsi, l'équation de Navier-Stokes pour un fluide incompressible ET non-newtonien devient :

\boxed{ \rho\,\bigl( \partial_t \mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + 2\,\bigl[\, D\cdot\nabla\eta(\gamma) + \eta(\gamma)\,\nabla^2\mathbf{v} \,\bigr] + \mathbf{f} }

Pour un fluide incompressible ET Newtonien :

\boxed{ \rho\,\bigl( \partial_t \mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\mathbf{v} + \mathbf{f} }

3.1.1. Démonstration pour un fluide Incompressible $\nabla\cdot\vec v=0$ et Non‑Newtonien

Le tenseur des contraintes s'écrit généralement :

\sigma = -p\,\mathbf{I} + \tau(D),

avec

\tau(D) = 2\,\eta(\gamma)\,D, \quad D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr), \quad \gamma = \sqrt{2\,D:D}.

1. Divergence de $-p\,\mathbf I$ :

\nabla\cdot(-p\,\mathbf I) = -\nabla p.

2. Divergence de $\tau$ :

\nabla\cdot\tau = \nabla\cdot\bigl(2\,\eta(\gamma)\,D\bigr).

3. Développement ( $\eta$ dépend de $\gamma$ ) :

\nabla\!\cdot\tau = 2\,\nabla\!\cdot\bigl(\eta(\gamma)\,D\bigr) = 2\bigl[ D\cdot\nabla\eta(\gamma) + \eta(\gamma)\,\nabla\!\cdot D \bigr]

4. Simplification par incompressibilité :

\nabla\!\cdot D = \nabla\!\cdot\bigl(\tfrac12(\nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T})\bigr) = \nabla^2\vec{v}

puisque $\nabla\!\cdot\vec{v} = 0$ .

5. Forme finale :

\boxed{\nabla\!\cdot\sigma = -\,\nabla p + 2\bigl[ D\cdot\nabla\eta(\gamma) + \eta(\gamma)\,\nabla^2\vec{v} \bigr]}

3.1.2. Démonstration pour un Incompressible ET Newtonien

Le tenseur des contraintes de Cauchy $\sigma$ (pression + visqueux) se décompose en :

\sigma = -\,p\,I + \tau, \quad \tau = 2\,\mu\,D, \quad D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).

1. Forme de $\sigma$ :

\sigma = -\,p\,I + \mu\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).

2. Divergence de $\sigma$ :

\nabla\!\cdot\sigma = \nabla\!\cdot(-p\,I) + \nabla\!\cdot\tau = -\,\nabla p + \nabla\!\cdot\!\bigl( \mu\,(\nabla\vec{v} + (\nabla\vec{v})^{T}) \bigr).

3. Visqueux seul ( $\nabla\cdot v=0$ ) :

\nabla\!\cdot\tau = \mu\,\nabla\!\cdot(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T) = \mu\bigl(\nabla^2\vec v + \nabla(\nabla\cdot\vec v)\bigr) = \mu\,\nabla^2\vec v.

4. Résultat final :

\nabla\!\cdot\sigma = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\vec v.

Ainsi, dans l'équation de Navier--Stokes incompressible :

\boxed{\rho\Bigl(\partial_t\vec v + (\vec v\cdot\nabla)\vec v\Bigr) = \nabla\!\cdot\sigma + \rho\,\vec f = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\vec v + \rho\,\vec f}

3.2. Simplifications pour un Fluide Newtonien

\sigma = -\,p\,\mathbf{I} + \mu\,\bigl( \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \bigr)

Cette simplification implique que la viscosité $\mu$ est une constante et que la relation entre la contrainte et le taux de déformation est linéaire.

Dans ce cas, les équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible et Newtonien prennent la forme suivante :

\boxed{ \rho\,\bigl( \partial_t \mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v} \bigr) = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\mathbf{v} + \mathbf{f}}

Cette équation est couramment utilisée pour modéliser les écoulements simples dans des fluides comme l'eau ou l'air à faible vitesse.

3.3. Simplifications pour un Fluide Idéal (Fluide sans Viscosité)

Dans ce cas, les équations de Navier-Stokes sont réduites à l'équation d'Euler, qui s'exprime ainsi :

\boxed{\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \mathbf{f}}

3.4. Simplifications pour un Fluide Stationnaire

\boxed{\rho\,(\vec v\cdot\nabla)\vec v = -\,\nabla p + \nabla\!\cdot\tau + \rho\,\vec f}

Note : Ce résultat (suppression du terme ∂ₜv) est valable pour tout fluide, newtonien ou non‑newtonien.

3.4.1. Fluide Newtonien Stationnaire

Si, en plus, le fluide est newtonien, on remplace $\tau=2\mu D$ et, sous incompressibilité, $\nabla\!\cdot\tau=\mu\nabla^2\vec v$ . On obtient :

\boxed{\rho\,(\vec v\cdot\nabla)\vec v = -\,\nabla p + \mu\,\nabla^2\vec v + \rho\,\vec f}

Ainsi, la forme ci-dessus n'est spécifique qu'au fluide newtonien stationnaire (et incompressible).

3.5. Résultat du Système Simplifié

1. Équation de continuité (incompressible) :

\nabla \cdot \mathbf{v} = 0

2. Équation de Navier-Stokes (fluide newtonien et stationnaire) :

\rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}

Dans ce cas, la densité $\rho$ est constante, la viscosité $\mu$ est aussi constante, et les forces externes $\mathbf{f}$ peuvent inclure des forces comme la gravité.

Système Général des Équations de Navier-Stokes

1. Équations de Navier-Stokes Générales

2. Équations de Navier-Stokes pour un Fluide Compressible et Non-Newtonien

3. Simplifications Courantes des Équations de Navier-Stokes

3.1. Simplifications pour un Fluide Incompressible

3.1.1. Démonstration pour un fluide Incompressible ∇⋅v⃗=0\nabla\cdot\vec v=0∇⋅v=0 et Non‑Newtonien

3.1.2. Démonstration pour un Incompressible ET Newtonien

3.2. Simplifications pour un Fluide Newtonien

3.3. Simplifications pour un Fluide Idéal (Fluide sans Viscosité)

3.4. Simplifications pour un Fluide Stationnaire

3.4.1. Fluide Newtonien Stationnaire

3.5. Résultat du Système Simplifié

Système Général des Équations de Navier-Stokes

1. Équations de Navier-Stokes Générales

2. Équations de Navier-Stokes pour un Fluide Compressible et Non-Newtonien

3. Simplifications Courantes des Équations de Navier-Stokes

3.1. Simplifications pour un Fluide Incompressible

3.1.1. Démonstration pour un fluide Incompressible ∇⋅v⃗=0\nabla\cdot\vec v=0∇⋅v=0 et Non‑Newtonien

3.1.2. Démonstration pour un Incompressible ET Newtonien

3.2. Simplifications pour un Fluide Newtonien

3.3. Simplifications pour un Fluide Idéal (Fluide sans Viscosité)

3.4. Simplifications pour un Fluide Stationnaire

3.4.1. Fluide Newtonien Stationnaire

3.5. Résultat du Système Simplifié

3.1.1. Démonstration pour un fluide Incompressible $\nabla\cdot\vec v=0$ et Non‑Newtonien

3.1.1. Démonstration pour un fluide Incompressible $\nabla\cdot\vec v=0$ et Non‑Newtonien