Les Équations d'Euler

Les équations d'Euler décrivent le comportement des fluides idéaux (sans viscosité). Ces équations traduisent les principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie dans un fluide en mouvement. Elles trouvent des applications en aérodynamique, en astrophysique, en dynamique des gaz, et en ingénierie.

1. Formulation des Équations d'Euler

Les équations d'Euler se déclinent sous deux formes principales selon que l'on considère un fluide compressible ou incompressible. Ces équations amènent à l'équation d'Euler :

\boxed{ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \;+\;(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{g} }

1.1. Pour un Fluide Compressible

Équation de continuité (conservation de la masse) :

\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\, \vec{v}) = 0}

Équation de la quantité de mouvement (conservation du momentum) :

\boxed{\frac{\partial (\rho\, \vec{v})}{\partial t} + \nabla \cdot ( \rho\, \vec{v} \otimes \vec{v} ) + \nabla p = \rho\, \vec{f}}

Cette équation peut être développée en trois étapes : Etape 1 : Dérivée temporelle Appliquer la règle du produit à $\partial_t(\rho\,\vec{v})$ :

\frac{\partial (\rho\,\vec{v})}{\partial t} = \rho\,\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v}\,\frac{\partial \rho}{\partial t}

Etape 2 : Divergence du flux convectif Développer $\nabla\cdot(\rho\,\vec{v}\otimes\vec{v})$ en deux termes :

\nabla\cdot(\rho\,\vec{v}\otimes\vec{v}) = \rho\,(\vec{v}\cdot\nabla)\,\vec{v} + \vec{v}\,\nabla\cdot(\rho\,\vec{v})

Etape 3 : Regroupement L'équation devient alors :

\rho\,\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v}\,\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\,(\vec{v}\cdot\nabla)\,\vec{v} + \vec{v}\,\nabla\cdot(\rho\,\vec{v}) + \nabla p = \rho\,\vec{g}

1.2. Fluide Incompressible

Pour un fluide incompressible (masse volumique constante $\rho$ ), l'équation d'Euler se rédige :

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\nabla)\,\vec{v} = -\frac{1}{\rho}\,\nabla p + \vec{f}

accompagnée de la contrainte d'incompressibilité :

\nabla\cdot\vec{v} = 0.

2. Démonstration de l'équation d'Euler pour un fluide compressible

L'Équation de continuité s'écrit :

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\vec{v}) = 0

Étape 1 : Isoler $\frac{\partial \rho}{\partial t}$ :

\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\,\nabla\cdot(\rho\,\vec{v})

Étape 2 : Reprendre l'expansion complète de l'Équation de la quantité de mouvement :

\rho\,\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \underbrace{\vec{v}\,\frac{\partial \rho}{\partial t}}_{T_1} + \rho\,(\vec{v}\cdot\nabla)\,\vec{v} + \underbrace{\vec{v}\,\nabla\cdot(\rho\,\vec{v})}_{T_2} + \nabla p - \rho\,\vec{g} = 0

Étape 3 : Calcul de $T1$ :

{T_1 = \vec{v}\,(\frac{\partial \rho}{\partial t}) = \vec{v}\,(-\,\nabla\cdot(\rho\,\vec{v})) = -\,\vec{v}\,\nabla\cdot(\rho\,\vec{v})}

Étape 4 : Écriture de $T2$ :

T2 = \vec{v}\;\nabla\cdot(\rho\,\vec{v})

Étape 5 : Somme $T1 + T2 = 0$ :

-\,\vec{v}\;\nabla\cdot(\rho\,\vec{v}) + \vec{v}\;\nabla\cdot(\rho\,\vec{v}) = 0

Étape 6 : L'équation se réduit à :

\rho\,\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \rho\,(\vec{v}\cdot\nabla)\,\vec{v} + \nabla p = \rho\,\vec{g}

Ainsi, la forme lagrangienne de l'équation de l'équation d'Euler pour un fluide compressible se présente comme ci‑après :

\boxed{ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \;+\;(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{g} }

Analogies pour mieux comprendre :

Le terme $-\tfrac{1}{\rho}\nabla p$ est la force due au gradient de pression.
Ajout de la gravité $\vec g$ comme force volumique par unité de masse.