Équations d'État en Thermodynamique

Une équation d'état est une relation mathématique qui relie les variables d'état macroscopiques d'un système thermodynamique à l'équilibre : la pression $P$ , le volume $V$ , la température $T$ , et parfois la quantité de matière $n$ .

Elle permet de décrire l'état d'un système et de prévoir son comportement lors de transformations.

1. Définition générale

Une équation d'état est une relation de la forme :

f(P, V, T, n) = 0

Elle caractérise les systèmes à l'équilibre thermodynamique.

Ce n'est pas une loi universelle mais une propriété spécifique à chaque type de fluide ou matériau.

##2. Cas du gaz parfait : démonstration

Pour un gaz parfait, on suppose :

les particules sont ponctuelles, sans interaction,
l'énergie interne ne dépend que de la température.

2.1. Modèle microscopique

On démontre (voir gaz parfait) que :

PV = Nk_B T

où $N$ est le nombre de particules.

En posant $n = \frac{N}{N_A}$ (nombre de moles), $R = N_A k_B$ et $N_A$ le Nombre d’Avogadro, on obtient la forme usuelle :

\boxed{PV = nRT}

Cette équation est une équation d'état simple reliant $P$ , $V$ , $T$ , et $n$ .

2.2. Exemple numérique

Un gaz parfait occupe un volume $V = 0{,}1\,m^3$ , à $T = 300\,K$ , avec $n = 2\,mol$ .

Pression exercée :

P = \frac{nRT}{V} = \frac{2 \times 8{,}314 \times 300}{0{,}1} \approx 49884\,\mathrm{Pa}

Environ 0,5 bar, pression d'un gaz dans une bonbonne semi-vide.

3. Autres équations d'état importantes

Les gaz parfaits ne décrivent pas tous les systèmes. D'autres équations d'état plus complexes existent.

3.1. Gaz réels : équation de Van der Waals

L'équation de Van der Waals modélise les interactions entre particules et leur volume propre :

\boxed{ \left(P + \frac{a n^2}{V^2} \right) (V - nb) = nRT }

avec :

$a$ : force d'attraction (corrige la pression),
$b$ : volume exclu par les molécules (corrige le volume accessible).

Plus réaliste à haute pression ou basse température.

3.2. État des solides et liquides

Pour les solides et liquides, il n'y a pas d'équation universelle simple. On utilise des modèles empiriques :

Solide : variation linéaire $V(T) = V_0(1 + \alpha T)$ avec $\alpha$ dilatation thermique.
Liquide : compressibilité et coefficients thermiques mesurés expérimentalement.

Ces milieux sont peu compressibles, les variations de volume sont faibles mais non négligeables.

4. Interprétation géométrique

Une équation d'état définit une surface dans l'espace $(P, V, T)$ .

Une transformation thermodynamique correspond à une courbe sur cette surface.

Par exemple, à $T$ constant, l'équation des gaz parfaits donne une hyperbole dans le plan $PV$ .

5. Remarques et limites

Une équation d'état ne donne pas l'évolution spontanée du système, mais seulement les états possibles à l'équilibre.

Pour comprendre les transformations, il faut utiliser aussi :

le premier principe,
le deuxième principe,
les fonctions thermodynamiques (énergie interne, entropie...).