Entropie Thermodynamique

L'entropie est une grandeur thermodynamique fondamentale qui mesure le désordre d'un système ou, plus rigoureusement, le nombre de configurations microscopiques compatibles avec son état macroscopique.

Elle permet de prédire si une transformation est possible, et dans quel sens elle se produit spontanément.

C'est grâce à l'entropie qu'on peut dire si une machine est « parfaite » ou si un processus est réversible.

1. Définition thermodynamique

Pour une transformation réversible, l'entropie $S$ est définie par :

\boxed{dS = \frac{\delta Q_{\mathrm{rév}}}{T}}

où :

$dS$ : variation infinitésimale de l'entropie,
$\delta Q_{\text{rév}}$ : chaleur reçue réversiblement,
$T$ : température absolue à laquelle se fait l'échange (en kelvins).

On peut intégrer cette relation entre deux états $A$ et $B$ :

\boxed{\Delta S = \int_A^B \frac{\delta Q_{\mathrm{rév}}}{T}}

L'entropie est une fonction d'état : sa variation ne dépend que des états initiaux et finaux, pas du chemin suivi.

2. Démonstration : Cas du gaz parfait

Soit un gaz parfait qui subit une transformation réversible d'un état ( (P_1, V_1, T_1) ) à ( (P_2, V_2, T_2) ).

On sait que pour un gaz parfait, la capacité thermique molaire à volume constant est $C_v$ .

On sépare la transformation en deux étapes réversibles :

Chauffage à volume constant de $T_1$ à $T_2$ ,
Détente isotherme de $V_1$ à $V_2$ .

Variation d'entropie totale :

\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{n C_v}{T} \, dT + \int_{V_1}^{V_2} \frac{nR}{V} \, dV

Ce qui donne :

\Delta S = n C_v \ln\left( \frac{T_2}{T_1} \right) + n R \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right)

On obtient une formule pratique pour calculer l'entropie d'un Gaz Parfait en fonction de $T$ et $V$ .

3. Exemples illustratifs

3.1. Chauffage réversible isotherme

Un gaz absorbe $Q = 900\,\text{J}$ à température constante $T = 300\,K$ .

Variation d'entropie :

\Delta S = \frac{Q}{T} = \frac{900}{300} = 3\,\mathrm{J/K}

L'entropie augmente car le système reçoit de la chaleur.

3.2. Mélange de deux corps à température différente

Un corps chaud ( $T_c = 600\,K$ ) et un corps froid ( $T_f = 300\,K$ ) échangent de la chaleur jusqu'à atteindre une température d'équilibre $T_e = 450\,K$ , avec $C$ constant.

Variation d'entropie totale :

\Delta S = C \ln\left(\frac{T_e}{T_f}\right) + C \ln\left(\frac{T_e}{T_c}\right) = C \ln\left(\frac{T_e^2}{T_c T_f}\right)

Cette expression est positive, ce qui montre l'irréversibilité du mélange thermique.

4. Interprétation physique

L'entropie peut être vue comme :

une mesure du désordre : plus il y a de façons d'organiser les particules, plus l'entropie est grande.
une limite au rendement : plus il y a de dissipation (pertes), plus l'entropie augmente.
un indicateur du sens du temps : l'entropie croît naturellement dans l'univers.

En thermodynamique, une transformation est spontanée si elle entraîne une augmentation d'entropie globale.

5. Entropie et irréversibilité

Le deuxième principe affirme que pour un système isolé :

\boxed{\Delta S \geq 0}

$\Delta S = 0$ : transformation réversible
$\Delta S > 0$ : transformation irréversible

L'entropie produite (ou générée) est notée :

\Delta S_{\mathrm{créée}} = \Delta S - \int \frac{\delta Q}{T}

Elle est strictement positive en présence de frottements, gradients de température, diffusions, etc.

6. Entropie en statistique (bonus)

En mécanique statistique, l'entropie est définie par la célèbre formule de Boltzmann :

S = k_B \ln \Omega

où :

$k_B$ est la constante de Boltzmann,
$\Omega$ est le nombre de micro-états compatibles avec l'état macroscopique.

Cette vision relie microscopie (atomes) et macroscopie (température, pression).

Entropie Thermodynamique

Elle permet de prédire si une transformation est possible, et dans quel sens elle se produit spontanément.

C'est grâce à l'entropie qu'on peut dire si une machine est « parfaite » ou si un processus est réversible.

1. Définition thermodynamique

Pour une transformation réversible, l'entropie $S$ est définie par :

\boxed{dS = \frac{\delta Q_{\mathrm{rév}}}{T}}

où :

$dS$ : variation infinitésimale de l'entropie,
$\delta Q_{\text{rév}}$ : chaleur reçue réversiblement,
$T$ : température absolue à laquelle se fait l'échange (en kelvins).

On peut intégrer cette relation entre deux états $A$ et $B$ :

\boxed{\Delta S = \int_A^B \frac{\delta Q_{\mathrm{rév}}}{T}}

L'entropie est une fonction d'état : sa variation ne dépend que des états initiaux et finaux, pas du chemin suivi.

2. Démonstration : Cas du gaz parfait

Soit un gaz parfait qui subit une transformation réversible d'un état ( (P_1, V_1, T_1) ) à ( (P_2, V_2, T_2) ).

On sait que pour un gaz parfait, la capacité thermique molaire à volume constant est $C_v$ .

On sépare la transformation en deux étapes réversibles :

Chauffage à volume constant de $T_1$ à $T_2$ ,
Détente isotherme de $V_1$ à $V_2$ .

Variation d'entropie totale :

\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \frac{n C_v}{T} \, dT + \int_{V_1}^{V_2} \frac{nR}{V} \, dV

Ce qui donne :

\Delta S = n C_v \ln\left( \frac{T_2}{T_1} \right) + n R \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right)

On obtient une formule pratique pour calculer l'entropie d'un Gaz Parfait en fonction de $T$ et $V$ .

3. Exemples illustratifs

3.1. Chauffage réversible isotherme

Un gaz absorbe $Q = 900\,\text{J}$ à température constante $T = 300\,K$ .

Variation d'entropie :

\Delta S = \frac{Q}{T} = \frac{900}{300} = 3\,\mathrm{J/K}

L'entropie augmente car le système reçoit de la chaleur.

3.2. Mélange de deux corps à température différente

Un corps chaud ( $T_c = 600\,K$ ) et un corps froid ( $T_f = 300\,K$ ) échangent de la chaleur jusqu'à atteindre une température d'équilibre $T_e = 450\,K$ , avec $C$ constant.

Variation d'entropie totale :

\Delta S = C \ln\left(\frac{T_e}{T_f}\right) + C \ln\left(\frac{T_e}{T_c}\right) = C \ln\left(\frac{T_e^2}{T_c T_f}\right)

Cette expression est positive, ce qui montre l'irréversibilité du mélange thermique.

4. Interprétation physique

L'entropie peut être vue comme :

une mesure du désordre : plus il y a de façons d'organiser les particules, plus l'entropie est grande.
une limite au rendement : plus il y a de dissipation (pertes), plus l'entropie augmente.
un indicateur du sens du temps : l'entropie croît naturellement dans l'univers.

En thermodynamique, une transformation est spontanée si elle entraîne une augmentation d'entropie globale.

5. Entropie et irréversibilité

Le deuxième principe affirme que pour un système isolé :

\boxed{\Delta S \geq 0}

$\Delta S = 0$ : transformation réversible
$\Delta S > 0$ : transformation irréversible

L'entropie produite (ou générée) est notée :

\Delta S_{\mathrm{créée}} = \Delta S - \int \frac{\delta Q}{T}

Elle est strictement positive en présence de frottements, gradients de température, diffusions, etc.

6. Entropie en statistique (bonus)

En mécanique statistique, l'entropie est définie par la célèbre formule de Boltzmann :

S = k_B \ln \Omega

où :

$k_B$ est la constante de Boltzmann,
$\Omega$ est le nombre de micro-états compatibles avec l'état macroscopique.

Cette vision relie microscopie (atomes) et macroscopie (température, pression).