Dérivée Matérielle en Mécanique des Fluides

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1. Définition

La dérivée matérielle $D\phi/Dt$ (ou substantielle) mesure le taux de changement d'une grandeur $\phi$ suivant une particule de fluide qui se déplace avec le champ de vitesse $\vec V$.

Elle s'écrit :

Le terme $\partial\phi/\partial t$ est la variation locale, le terme $\vec V\cdot\nabla\phi$ est la variation convective due au transport par le fluide.

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2. Démonstration

On suit une particule dont la position $\vec x(t)$ évolue selon $\tfrac{d\vec x}{dt}=\vec V(\vec x,t)$. Soit $\phi(\vec x,t)$ une grandeur portée par la particule. Sa variation totale en $t$ est :

Comme $\tfrac{dx_i}{dt}=V_i$ et $\sum_iV_i\partial_i=\vec V\cdot\nabla$, on obtient :

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3. Analogie

Imaginez que vous courez dans une ville où la température varie selon les rues et selon l’heure.

1. Variation locale : le piéton immobile $\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}$

Un piéton reste à un endroit fixe : il ressent la température changer avec le temps, même sans bouger.
→ C’est la variation locale de $T$.

2. Variation convective : le joggeur en mouvement $\displaystyle \vec{V}\cdot\nabla T$

En courant, vous traversez des rues plus chaudes ou plus froides.
Même si $T$ ne change pas dans le temps, vous ressentez un changement parce que vous vous déplacez dans l’espace.
→ C’est la variation convective.

3. Variation suivie : ce que ressent vraiment le joggeur $\displaystyle \frac{DT}{Dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \vec{V}\cdot\nabla T$

La dérivée matérielle ajoute :

• ce que change le temps (piéton),
• ce que change le déplacement (joggeur).

C’est la variation réellement ressentie par la particule fluide en mouvement.

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4. Exemple

Exemple - Température : Soit $T(x,y,t)=20+5x-3y+2t$ °C et $\vec V=(u,v)=(1,2)$ m/s.

1. $\partial T/\partial t=2$.
2. $\nabla T=(5,-3)$.
3. $\vec V\cdot\nabla T=1\cdot5+2\cdot(-3)=5-6=-1$. Donc :