Déformation Volumique

La déformation volumique (ou dilatation) mesure la variation relative de volume d'un fluide (ou d'un solide) sous l'effet d'un écoulement ou d'une sollicitation mécanique.

En mécanique des fluides, elle est essentielle pour distinguer les parties isotropes du mouvement de celles de cisaillement.

1. Définition Mathématique

Le tenseur des déformations $D$ est défini par :

\boxed{D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr)}

La déformation volumique est la trace de $D$ :

\mathrm{tr}(D) = D_{11} + D_{22} + D_{33} = \nabla \cdot \vec v.

Ainsi,

\boxed{\gamma_{\rm vol} = \nabla\cdot\vec v}

2. Interprétation Physique

$\gamma_{\rm vol}>0$ : le fluide dilate, son volume augmente localement.
$\gamma_{\rm vol}<0$ : le fluide se comprime, son volume diminue localement.
$\gamma_{\rm vol}=0$ : incompressibilité, le volume reste constant.

Cette grandeur traduit la vitesse de variation de volume d'une particule fluide.

3. Démonstration

A. Déformation élémentaire :

Considérons un petit cube de fluide de coté $dx$ , $dy$ , $dz$ . Sous l'effet d'un champ de vitesse $\vec v$ , ses côtés varient :

changement de longueur en $x$ : $\partial v_x/\partial x\,dx$ ,
en $y$ : $\partial v_y/\partial y\,dy$ ,
en $z$ : $\partial v_z/\partial z\,dz$ .

B. Variation de volume :

Volume initial $dV = dx\,dy\,dz$ .

Volume final $dV + dV' = (dx+\partial v_x\,dt)\,(dy+\partial v_y\,dt)\,(dz+\partial v_z\,dt)$ .

Au premier ordre en $dt$ :

\frac{dV'}{dV} = \Bigl(\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}\Bigr)dt = (\nabla\cdot\vec v)\,dt.

On identifie $\gamma_{\rm vol}=\nabla\cdot\vec v$ .

4. Exemple Simple

Pour un écoulement radial en coordonnées cylindriques ( $v_r = A r$ , $v_\theta=0$ , $v_z=0$ ):

\nabla\cdot\vec v = \frac1r\frac{\partial}{\partial r}(r v_r) = \frac1r\frac{\partial}{\partial r}(A r^2) = 2A.

Le fluide se dilate uniformément à un taux $2A$ .