Déformation Isotrope

La déformation isotrope correspond à une variation de volume uniforme d'un matériau ou d'un élément de fluide, sans cisaillement de forme.

1. Définition

Pour un tenseur de déformation d'ordre 2, noté $\varepsilon$ (solide) ou $D$ (fluide), la partie isotrope se définit en extrayant la trace et en répartissant également sur toutes les directions :

\boxed{\varepsilon_{\rm iso} = \frac13\,\mathrm{tr}(\varepsilon)\,I }\boxed{\quad D_{\rm iso} = \frac13\,\mathrm{tr}(D)\,I.}

Ici, $\mathrm{tr}(\cdot)$ est la trace et donc la somme des composantes diagonales et $I$ la matrice identité.

2. Cas des Solides

Soit :

\varepsilon = \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{pmatrix}.

Alors :

\varepsilon_{\rm iso} = \frac13(\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})\,I.

3. Cas des Fluides

Pour un fluide, on utilise :

D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).

La déformation isotrope devient :

D_{\rm iso} = \frac13\,\mathrm{tr}(D)\,I = \frac13(\nabla\cdot\vec v)\,I,

où $\nabla\cdot\vec v$ est la variation de volume scalaire.

4. Exemple Visuel

4. Exemple Visuel Détaillé

Imaginons un cube de matériau initialement de côté 1.

Étape 1 : Cube initial

       z
       ↑
      ┌───┐
     /   /|
    ┌───┐ │    y
    │   │/└──
    └───┘ x

Tous les arêtes mesurent 1.

Étape 2 : Application d'une déformation isotrope

Supposons $\varepsilon_{\rm iso} = \alpha I$ avec $\alpha = 0{,}2$ (augmentation de 20 %). Chaque arête se dilate de 20 % : $1 \to 1 + \alpha = 1{,}2$ .

Étape 3 : Cube déformé

       z
       ↑
      ┌───────┐
     /       /|
    ┌───────┐ │    y
    │       │ └──
    │       │/
    └───────┘ x

Arêtes horizontales, verticales et en profondeur mesurent désormais 1,2.
Forme sphérique ou cubique conservée, seul le volume change :
Volume initial : $1^3 = 1$ .
Volume final : $(1+\alpha)^3 = 1{,}2^3 = 1{,}728$ .

Conclusion visuelle :

Le cube garde sa forme mais gonfle uniformément dans les trois directions.
C'est l'effet pur de la déformation isotrope (aucun cisaillement, juste dilatation homogène).