Déformation de Forme

La déformation de forme (ou cisaillement) quantifie la modification de la forme d'un élément de fluide sans variation de son volume.

Elle est décrite par la partie déviatorique du tenseur des déformations, séparant les effets de cisaillement des effets de dilatation ou compression.

1. Définition Mathématique

Le tenseur des déformations est :

\boxed{D = \frac12\bigl(\nabla\vec v + (\nabla\vec v)^T\bigr).}

La partie déviatorique (cisaillement pur) est :

\boxed{D' = D - \frac13(\nabla\cdot\vec v)\,I.}

La déformation de forme scalaire peut se définir par :

\boxed{\gamma_{\rm shear} = \sqrt{2\,D^{\prime}:D^{\prime}} = \sqrt{2\sum_{i,j} \bigl(D^{\prime}_{ij}\bigr)^2}\,.}

2. Interprétation Physique

$D'\neq0$ : présence de cisaillement, les formes se déforment (angles changent) sans variation de volume.
$D'=0$ : déformation purement volumique ou rotation sans cisaillement.

La déformation de forme mesure la vitesse relative de glissement entre éléments adjacents du fluide.

3. Démonstration

A. Symétrisation du gradient :

\nabla\vec v = \begin{pmatrix} \partial_x v_x & \partial_y v_x & \partial_z v_x \partial_x v_y & \partial_y v_y & \partial_z v_y \partial_x v_z & \partial_y v_z & \partial_z v_z \end{pmatrix},

\quad D_{ij} = \frac12(\partial_j v_i + \partial_i v_j).

B. Trace et partie déviatorique :

Trace $=\nabla\cdot\vec v$ .

On construit

D'_{ij} = D_{ij} - \frac13(\nabla\cdot\vec v)\,\delta_{ij}.

C. Scalaire de cisaillement :

Double contraction

D':D' = \sum_{i,j} D'_{ij}D'_{ij},

puis

\gamma_{\rm shear} = \sqrt{2\,D':D'}.

4. Exemple Simple & Visuel

Écoulement de Couette ( $\vec v = (\dot\gamma\,y,0,0)$ ) :

D = \frac12 \begin{pmatrix} 0 & \dot\gamma & 0 \dot\gamma & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \nabla\cdot\vec v=0 \;\Rightarrow\; D'=D, \quad \gamma_{\rm shear} = \dot\gamma.

Représentation visuelle : Un carré initial subit un cisaillement horizontal proportionnel à $\dot\gamma$ :

Avant cisaillement :           Après cisaillement :

(0,1)───(1,1)                       (0,1)───(1+γ,1)
  │        │                           │       │
(0,0)───(1,0)                       (0,0)───(1,0)

Avant : carré de côté 1.
Après : chaque point $(x,y)$ est déplacé en $(x + \dot\gamma\,y,\,y)$ , ce qui transforme le carré en parallélogramme dont l'angle supérieur droit est décalé de $\gamma = \dot\gamma$ .

Ce schéma montre comment la déformation de forme (cisaillement) agit sur un élément de fluide : les lignes horizontales se déplacent horizontalement proportionnellement à leur ordonnée, sans modifier le volume.