Conservation de la Quantité de Mouvement

La quantité de mouvement (ou momentum) est une grandeur essentielle en physique qui caractérise l'état de mouvement d'un corps ou d'un fluide. Elle se conserve dans un système isolé, c'est-à-dire sans échange extérieur de forces.

Ce principe, issu directement des lois de Newton, permet d'étudier une variété de phénomènes : collisions, écoulements, propulsion, etc.

1. Définition et Intuition

La quantité de mouvement $\vec{p}$ d'un corps de masse $m$ se déplaçant à une vitesse $\vec{v}$ est définie par :

\vec{p} = m\,\vec{v}.

Cette grandeur représente intuitivement la « difficulté » à arrêter un corps en mouvement : plus la masse ou la vitesse est grande, plus il faudra exercer une grande force ou attendre longtemps pour stopper l'objet.

Exemple : Un camion lancé à faible vitesse peut avoir autant de quantité de mouvement qu'une petite voiture rapide, du fait de sa masse élevée.

2. Formulation Intégrale

2.1. Système discret

Pour un système isolé constitué de plusieurs particules, la somme des quantités de mouvement reste constante si aucune force extérieure n'agit :

\sum_{i=1}^{N} m_i\,\vec{v}_i = \mathrm{constante}.

On peut aussi écrire en termes de dérivée temporelle :

\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^{N} m_i\,\vec{v}_i = \sum_{i=1}^{N}\vec{F}_{\mathrm{ext}, i}.

Si $\sum_i \vec{F}_{\text{ext}, i} = 0$ , alors la quantité de mouvement totale est conservée.

2.2. Milieu continu (Fluides)

Considérons un volume de contrôle $V$ , fixe ou mobile, entouré d'une surface $S$ . La quantité de mouvement pour un fluide de masse volumique $\rho$ et de vitesse $\vec v$ s'écrit alors :

\boxed{\frac{d}{dt}\int_V \rho\,\vec v\, dV = \int_V \rho\,\vec f\, dV + \int_S (\rho\,\vec v\otimes\vec v)\cdot d\vec A + \int_S \sigma\cdot d\vec A}

Avec :

$\rho\,\vec v\otimes\vec v$ : flux convectif de la quantité de mouvement.
$\sigma$ : tenseur total des contraintes ( $\sigma=-pI+\tau$ ), incluant la pression $p$ et les effets visqueux $\tau$ .
$\vec f$ : forces volumiques (ex. : pesanteur).

Cette formulation traduit simplement que la variation de la quantité de mouvement est due aux forces internes (pressions, viscosité) et aux forces externes.

2.4. Thermodynamique

Définition :

W = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{s}

Le travail correspond au transfertcd'énergie mécanique par une force lors d'un déplacement.

Lien avec l'énergie cinétique :

Selon le théorème de l'énergie cinétique :

W = \Delta E_c = \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2

Exemple concret : Imagine un chariot. Tu poses ta main dessus et tu pousses avec une force F. Il roule sur 5 m. Tu as transféré de l'énergie mécanique de ton corps au chariot. Ce transfert d'énergie, c'est le travail. C'est ce qui relie force et déplacement.

3. Formulation Locale (Différentielle)

3.1. Passage à la forme locale

En partant de la forme intégrale précédente, appliquons le théorème de la divergence, qui permet d'écrire des intégrales de flux en intégrales volumiques :

Ainsi, pour un volume $V$ arbitraire :

\int_S (\rho\,\vec v\otimes\vec v)\cdot d\vec A = \int_V \nabla\cdot(\rho\,\vec v\otimes\vec v)\, dV,

\int_S \sigma\cdot d\vec A = \int_V \nabla\cdot\sigma\, dV.

En combinant ces résultats, on obtient la formulation locale :

\boxed{\frac{\partial(\rho\,\vec v)}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\,\vec v\otimes\vec v) = \rho\,\vec f + \nabla\cdot\sigma}

Cette équation décrit localement (point par point) comment évolue la quantité de mouvement d'un fluide.

3.2. Forme de Cauchy (fluide général, avec dérivée matérielle)

La forme de Cauchy s'exprime à l'aide de la dérivée matérielle $\displaystyle \frac{D}{Dt}$ :

\boxed{\rho\,\frac{D\vec v}{Dt} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\,\vec f}

où :

$\rho$ est la densité,
$\vec{v}$ le champ de vitesse,
$\boldsymbol{\sigma}$ le tenseur des contraintes,
$\vec{f}$ les forces volumiques (par ex. gravité),
$\displaystyle \frac{D}{Dt}$ la dérivée matérielle.

Démonstration de la Forme de Cauchy

1. Forme locale d'évolution de la quantité de mouvement

On part de la forme locale eulérienne de conservation du moment :

\frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v}) = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \vec{f}

2. Définition de la dérivée matérielle du produit $\rho \vec{v}$

Par définition de la Dérivée Matérielle :

\frac{D(\rho \vec{v})}{Dt} = \frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)(\rho \vec{v})

3. Développement correct du terme convectif

On développe le gradient directionnel en utilisant la règle de Leibniz pour le produit vectoriel :

(\vec{v} \cdot \nabla)(\rho \vec{v}) = \rho (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} + \vec{v} (\vec{v} \cdot \nabla \rho)

On utilise ensuite une reformulation du produit vectoriel :

\vec{v} \cdot \nabla \rho = \nabla \cdot (\rho \vec{v}) - \rho \nabla \cdot \vec{v}

Ce qui donne finalement :

(\vec{v} \cdot \nabla)(\rho \vec{v}) = \rho (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} + \vec{v} \nabla \cdot (\rho \vec{v}) - \rho \vec{v} (\nabla \cdot \vec{v})

4. Dérivée matérielle du produit $\rho \vec{v}$

Par la règle de Leibniz :

\frac{D(\rho \vec{v})}{Dt} = \rho \frac{D\vec{v}}{Dt} + \vec{v} \frac{D\rho}{Dt}

5. Utilisation de l'équation de continuité

L'équation de conservation de la masse (forme matérielle) donne :

\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \vec{v} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v} \frac{D\rho}{Dt} = -\rho \vec{v} \nabla \cdot \vec{v}

Donc :

\frac{D(\rho \vec{v})}{Dt} = \rho \frac{D\vec{v}}{Dt} - \rho \vec{v} \nabla \cdot \vec{v}

6. Remplacement dans l'équation du moment

On a deux expressions pour $\displaystyle \frac{D(\rho \vec{v})}{Dt}$ :

D'une part :

\frac{D(\rho \vec{v})}{Dt} = \frac{\partial (\rho\vec{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v})

D'autre part :

\frac{D(\rho \vec{v})}{Dt} = \rho \frac{D\vec{v}}{Dt} - \rho \vec{v} \nabla \cdot \vec{v}

On remplace dans l'équation de conservation du moment :

\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} - \rho \vec{v} \nabla \cdot \vec{v} = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \vec{f}

Mais en fait, la version correcte est obtenue directement en reconnaissant que :

\frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v}) = \rho \frac{D\vec{v}}{Dt} + \vec{v} \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) \right)

Et selon l’équation de continuité (forme Eulérienne) :

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0

Donc ce terme s'annule, et il reste :

\boxed{\rho \frac{D\vec{v}}{Dt} = \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \vec{f}}

3.3. Cas particulier du fluide incompressible

Si le fluide est incompressible ( $\rho=\text{constante}$ et $\nabla\cdot\vec v=0$ ), alors :

Le terme de continuité de masse devient trivial :

\nabla\cdot(\rho\,\vec v)=\rho\nabla\cdot\vec v=0.

On obtient alors une forme simplifiée de l'équation locale :

\boxed{\rho\frac{\partial\vec v}{\partial t}+\rho(\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\nabla p+\nabla\cdot\tau+\rho\,\vec f}

Cette équation, dite de Navier-Stokes pour fluide incompressible, est fondamentale en mécanique des fluides.