Conservation de l'Énergie

La conservation de l'énergie est un principe fondamental de la physique qui stipule que, dans un système isolé, l'énergie totale reste constante, bien qu'elle puisse se transformer d'une forme à une autre.

Dans le contexte de la mécanique des fluides réels, ce principe prend en compte les effets dissipatifs tels que la viscosité et la conduction thermique, ainsi que les apports externes de chaleur.

Nous adoptons une approche eulérienne, où nous étudions un volume de contrôle fixe dans l'espace. Grâce au théorème de la divergence, nous pouvons passer de la forme intégrale à la forme locale, ce qui facilite l'analyse des transferts d'énergie au sein du fluide.

1. Équation Locale d'Énergie

L'énergie interne par unité de volume dans un fluide peut être exprimée comme suit :

e = \rho \, u,

où $u$ est l'énergie interne par unité de masse du fluide et $\rho$ est la densité du fluide.

L'équation locale de conservation de l'énergie décrit l'évolution de cette énergie dans un volume de contrôle, et prend la forme suivante :

\boxed{\frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \bigl( \vec{v} (e + p) \bigr) = \nabla \cdot \bigl( \kappa \nabla T \bigr) + \Phi + Q.}

Où :

$\vec{v}$ est le vecteur vitesse du fluide,
$p$ est la pression dans le fluide,
$\kappa$ est la conductivité thermique,
$T$ est la température,
$\Phi$ est la dissipation visqueuse (due aux forces de viscosité),
$Q$ représente les sources de chaleur externes ajoutées au fluide.

Cette équation exprime comment l'énergie interne du fluide évolue au fil du temps, prenant en compte les flux d'énergie convectifs, les effets thermiques (conduction de chaleur), la dissipation visqueuse due aux forces internes, ainsi que l'apport de chaleur par des sources externes.

2. Bilan Intégral Général

Pour un volume de contrôle $\Omega$ délimité par une surface $\partial \Omega$ , le bilan d'énergie peut être exprimé sous la forme intégrale suivante :

\frac{d}{dt} \int_\Omega e \, dV = - \int_{\partial \Omega} (e + p) \, \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS + \int_{\partial \Omega} \kappa \, \nabla T \cdot \vec{n} \, dS + \int_\Omega \Phi \, dV + \int_\Omega Q \, dV.

Chaque terme représente une contribution différente au bilan d'énergie :

Flux Convectif est :

-\int_{\partial\Omega} (e + p) \, \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS

$e + p$ représente l'énergie totale par unité de volume dans le fluide (énergie interne $e$ et pression $p$ ).
$\vec{v} \cdot \vec{n}$ $v \cdot n$ donne la vitesse perpendiculaire à la surface :
- Si $\vec{v} \cdot \vec{n} > 0$ , l'énergie sort du volume.
- Si $\vec{v} \cdot \vec{n} < 0$ , l'énergie entre dans le volume.

Le signe négatif montre que l'énergie qui sort du volume de contrôle diminue l'énergie à l'intérieur de ce volume.

Flux thermique :

\int_{\partial \Omega} \kappa \, \nabla T \cdot \vec{n} \, dS

Ce terme modélise le transport de chaleur par conduction à travers les frontières du volume de contrôle. Ce flux est positif lorsque de la chaleur pénètre dans le volume.

Dissipation visqueuse :

\int_\Omega \Phi \, dV

Ce terme représente la conversion de l'énergie mécanique en chaleur due à la viscosité du fluide. Il est positif car la dissipation visqueuse génère de l'énergie interne supplémentaire dans le fluide.

Sources de chaleur :

\int_\Omega Q \, dV

Ce terme représente les apports d'énergie externes (par exemple, des réacteurs thermiques, des radiations, ou des sources de chaleur imposées).

3. Passage à la Forme Différentielle

Le passage de la forme intégrale à la forme locale nécessite l'application du théorème de la divergence. Ce théorème permet de convertir les intégrales de surface en intégrales volumiques.

1. Flux convectif : Appliquons le théorème de la divergence au terme $- \int_{\partial \Omega} (e + p) \, \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS$ pour obtenir :

- \int_{\partial \Omega} (e + p) \, \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS = \int_\Omega \nabla \cdot \bigl( (e + p) \, \vec{v} \bigr) \, dV.

2. Flux thermique : Appliquons également le théorème de la divergence au terme $\int_{\partial \Omega} \kappa \, \nabla T \cdot \vec{n} \, dS$ pour obtenir :

\int_{\partial \Omega} \kappa \, \nabla T \cdot \vec{n} \, dS = \int_\Omega \nabla \cdot \bigl( \kappa \, \nabla T \bigr) \, dV.

En utilisant ces résultats et en tenant compte du fait que l'égalité doit être valable pour tout volume de contrôle arbitraire, nous obtenons la forme différentielle locale de l'équation de conservation de l'énergie :

\frac{\partial e}{\partial t} + \nabla \cdot \bigl( \vec{v}(e + p) \bigr) = \nabla \cdot (\kappa \nabla T) + \Phi + Q.

4. Démonstration des Termes Dissipatifs

A. Dissipation visqueuse $\Phi$ : La dissipation visqueuse $\Phi$ provient du travail effectué par les contraintes visqueuses $\tau$ sur le champ de vitesse $\vec{v}$ .

La dissipation est donnée par la relation suivante :

\Phi = \tau : \nabla \vec{v},

où $\tau$ représente le tenseur des contraintes visqueuses, et ":" désigne la double contraction (produit scalaire entre $\tau$ et $\nabla \vec{v}$ ).

B. Conduction thermique : Le flux de chaleur par conduction suit la loi de Fourier, qui est donnée par :

\vec{q} = -\kappa \nabla T,

et le terme $\nabla \cdot (\kappa \nabla T)$ représente la variation de l'énergie thermique dans le fluide due à la conduction.

C. Sources externes $Q$ : Les sources externes $Q$ représentent les apports de chaleur dans le fluide, par exemple à partir de réacteurs chimiques ou de rayonnement, et sont intégrées dans l'équation d'énergie en tant que termes de source volumique.