II – Écritures, puissances, racines, valeurs absolues

Dans ce chapitre, on s’attaque à la “grammaire” des nombres :
comment on les écrit, comment on les élève à une puissance, comment on “défait” ces puissances avec des racines, et comment on mesure leur distance au zéro avec la valeur absolue.

1. Différentes écritures d’un même nombre

Un même nombre peut avoir plusieurs écritures différentes, toutes équivalentes.
Changer d’écriture, c’est juste changer de point de vue, pas de valeur.

a) Écriture fractionnaire

On écrit un nombre comme une fraction :

\frac{a}{b} \quad \text{avec } a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}

Exemples :

$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$-\frac{5}{2}$

Une fraction signifie toujours “un partage en parts égales”.
Par exemple $\frac{3}{4}$ = 3 parts quand on a coupé 1 en 4 morceaux égaux.

b) Écriture décimale

On écrit le nombre avec une virgule (ou un point) et des chiffres après :

$0{,}5 = \frac{1}{2}$
$0{,}75 = \frac{3}{4}$
$-2{,}5 = -\frac{5}{2}$

Certaines écritures décimales s’arrêtent (comme $0{,}25$ ), d’autres répètent un motif à l’infini (comme $0{,}333\ldots$ ).

c) Écriture scientifique (notation scientifique)

Très utile pour les très grands ou très petits nombres :

a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leq |a| < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}

Exemples :

$12\,500 = 1{,}25 \times 10^4$
$0{,}000\,36 = 3{,}6 \times 10^{-4}$

La puissance de 10 indique combien de fois on décale la virgule :
$10^3$ → 3 zéros à droite, $10^{-3}$ → 3 déplacements vers la gauche.

2. Les puissances

Les puissances servent à raccourcir les multiplications répétées.

a) Puissance d’un nombre entier positif

Pour un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}

Exemples :

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$

b) Cas particuliers : $a^1$ , $a^0$ , $a^{-n}$

$a^1 = a$
pour $a \neq 0$ : $a^0 = 1$
pour $a \neq 0$ et $n \in \mathbb{N}$ :

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Exemples :

$10^0 = 1$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Un exposant négatif ne rend pas le nombre “négatif” :
il le transforme en inverse multiplicatif.

c) Règles de calcul utiles

Pour $a \neq 0$ et $m,n \in \mathbb{Z}$ :

Produit de puissances de même base
$a^m \times a^n = a^{m+n}$
Puissance d’une puissance
$(a^m)^n = a^{m \times n}$
Puissance d’un produit
$(ab)^n = a^n b^n$

3. Les racines

Les racines “inversent” l’effet des puissances.

a) Racine carrée

La racine carrée de $a$ (pour $a \ge 0$ ) est le nombre positif dont le carré vaut $a$ :

\sqrt{a} \text{ est le nombre } x \ge 0 \text{ tel que } x^2 = a

Exemples :

$\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{2} \approx 1{,}4142\dots$ (irrationnel)

En $\mathbb{R}$ , on ne définit pas la racine carrée d’un nombre négatif
(ex. $\sqrt{-1}$ n’est pas réel).

b) Racine $n$ -ième

Plus généralement, pour $n \ge 2$ :

\sqrt[n]{a} \text{ est le nombre } x \text{ tel que } x^n = a

Exemples :

$\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^3 = 8$
$\sqrt[4]{16} = 2$ car $2^4 = 16$

c) Lien entre puissances et racines

Les racines peuvent s’écrire sous forme de puissances à exposant fractionnaire (quand ça a un sens) :

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Exemple :

\sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}}

4. La valeur absolue

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre au zéro sur la droite réelle.

a) Définition

Pour un réel $x$ :

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Exemples :

$|5| = 5$
$|-5| = -(-5) = 5$
$|0| = 0$

b) Interprétation géométrique

Sur une droite graduée, $|x|$ est la distance entre le point d’abscisse $x$ et le point 0.
La distance est toujours positive ou nulle, jamais négative.

$|x|$ ne “rend pas un nombre positif par magie”,
il dit : “combien ce nombre est loin de 0”.

c) Propriétés utiles

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$|x| \ge 0$
$|x| = 0 \iff x = 0$
$|-x| = |x|$
$|xy| = |x| \cdot |y|$
$|x + y| \le |x| + |y|$ (inégalité triangulaire)

5. Panorama global

On peut résumer le rôle de chaque notion ainsi :

Notion	Rôle principal
Écritures	Représenter un même nombre sous différentes formes
Puissances	Raccourcir des multiplications répétées
Racines	“Annuler” l’effet d’une puissance
Valeur absolue	Mesurer la distance à 0

Toutes ces idées sont des outils de base pour la suite :
équations, fonctions, dérivées, trigonométrie… bref, tout ce qui vient après.

II – Écritures, puissances, racines, valeurs absolues

1. Différentes écritures d’un même nombre

Un même nombre peut avoir plusieurs écritures différentes, toutes équivalentes.
Changer d’écriture, c’est juste changer de point de vue, pas de valeur.

a) Écriture fractionnaire

On écrit un nombre comme une fraction :

\frac{a}{b} \quad \text{avec } a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}

Exemples :

$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$-\frac{5}{2}$

Une fraction signifie toujours “un partage en parts égales”.
Par exemple $\frac{3}{4}$ = 3 parts quand on a coupé 1 en 4 morceaux égaux.

b) Écriture décimale

On écrit le nombre avec une virgule (ou un point) et des chiffres après :

$0{,}5 = \frac{1}{2}$
$0{,}75 = \frac{3}{4}$
$-2{,}5 = -\frac{5}{2}$

Certaines écritures décimales s’arrêtent (comme $0{,}25$ ), d’autres répètent un motif à l’infini (comme $0{,}333\ldots$ ).

c) Écriture scientifique (notation scientifique)

Très utile pour les très grands ou très petits nombres :

a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leq |a| < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}

Exemples :

$12\,500 = 1{,}25 \times 10^4$
$0{,}000\,36 = 3{,}6 \times 10^{-4}$

La puissance de 10 indique combien de fois on décale la virgule :
$10^3$ → 3 zéros à droite, $10^{-3}$ → 3 déplacements vers la gauche.

2. Les puissances

Les puissances servent à raccourcir les multiplications répétées.

a) Puissance d’un nombre entier positif

Pour un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ :

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}

Exemples :

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$

b) Cas particuliers : $a^1$ , $a^0$ , $a^{-n}$

$a^1 = a$
pour $a \neq 0$ : $a^0 = 1$
pour $a \neq 0$ et $n \in \mathbb{N}$ :

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Exemples :

$10^0 = 1$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Un exposant négatif ne rend pas le nombre “négatif” :
il le transforme en inverse multiplicatif.

c) Règles de calcul utiles

Pour $a \neq 0$ et $m,n \in \mathbb{Z}$ :

Produit de puissances de même base
$a^m \times a^n = a^{m+n}$
Puissance d’une puissance
$(a^m)^n = a^{m \times n}$
Puissance d’un produit
$(ab)^n = a^n b^n$

3. Les racines

Les racines “inversent” l’effet des puissances.

a) Racine carrée

La racine carrée de $a$ (pour $a \ge 0$ ) est le nombre positif dont le carré vaut $a$ :

\sqrt{a} \text{ est le nombre } x \ge 0 \text{ tel que } x^2 = a

Exemples :

$\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{2} \approx 1{,}4142\dots$ (irrationnel)

En $\mathbb{R}$ , on ne définit pas la racine carrée d’un nombre négatif
(ex. $\sqrt{-1}$ n’est pas réel).

b) Racine $n$ -ième

Plus généralement, pour $n \ge 2$ :

\sqrt[n]{a} \text{ est le nombre } x \text{ tel que } x^n = a

Exemples :

$\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^3 = 8$
$\sqrt[4]{16} = 2$ car $2^4 = 16$

c) Lien entre puissances et racines

Les racines peuvent s’écrire sous forme de puissances à exposant fractionnaire (quand ça a un sens) :

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Exemple :

\sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}}

4. La valeur absolue

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre au zéro sur la droite réelle.

a) Définition

Pour un réel $x$ :

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Exemples :

$|5| = 5$
$|-5| = -(-5) = 5$
$|0| = 0$

b) Interprétation géométrique

Sur une droite graduée, $|x|$ est la distance entre le point d’abscisse $x$ et le point 0.
La distance est toujours positive ou nulle, jamais négative.

$|x|$ ne “rend pas un nombre positif par magie”,
il dit : “combien ce nombre est loin de 0”.

c) Propriétés utiles

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$|x| \ge 0$
$|x| = 0 \iff x = 0$
$|-x| = |x|$
$|xy| = |x| \cdot |y|$
$|x + y| \le |x| + |y|$ (inégalité triangulaire)

5. Panorama global

On peut résumer le rôle de chaque notion ainsi :

Notion	Rôle principal
Écritures	Représenter un même nombre sous différentes formes
Puissances	Raccourcir des multiplications répétées
Racines	“Annuler” l’effet d’une puissance
Valeur absolue	Mesurer la distance à 0

Toutes ces idées sont des outils de base pour la suite :
équations, fonctions, dérivées, trigonométrie… bref, tout ce qui vient après.

II – Écritures, puissances, racines, valeurs absolues

1. Différentes écritures d’un même nombre

a) Écriture fractionnaire

b) Écriture décimale

c) Écriture scientifique (notation scientifique)

2. Les puissances

a) Puissance d’un nombre entier positif

b) Cas particuliers : a1a^1a1, a0a^0a0, a−na^{-n}a−n

c) Règles de calcul utiles

3. Les racines

a) Racine carrée

b) Racine nnn-ième

c) Lien entre puissances et racines

4. La valeur absolue

a) Définition

b) Interprétation géométrique

c) Propriétés utiles

5. Panorama global

II – Écritures, puissances, racines, valeurs absolues

1. Différentes écritures d’un même nombre

a) Écriture fractionnaire

b) Écriture décimale

c) Écriture scientifique (notation scientifique)

2. Les puissances

a) Puissance d’un nombre entier positif

b) Cas particuliers : a1a^1a1, a0a^0a0, a−na^{-n}a−n

c) Règles de calcul utiles

3. Les racines

a) Racine carrée

b) Racine nnn-ième

c) Lien entre puissances et racines

4. La valeur absolue

a) Définition

b) Interprétation géométrique

c) Propriétés utiles

5. Panorama global

b) Cas particuliers : $a^1$ , $a^0$ , $a^{-n}$

b) Racine $n$ -ième

b) Cas particuliers : $a^1$ , $a^0$ , $a^{-n}$

b) Racine $n$ -ième