# II – Écritures, puissances, racines, valeurs absolues Dans ce chapitre, on s’attaque à **la “grammaire” des nombres** : comment on les écrit, comment on les élève à une puissance, comment on “défait” ces puissances avec des racines, et comment on mesure leur distance au zéro avec la valeur absolue. --- ## 1. Différentes écritures d’un même nombre Un même nombre peut avoir **plusieurs écritures** différentes, toutes équivalentes. Changer d’écriture, c’est juste **changer de point de vue**, pas de valeur. ### a) Écriture fractionnaire On écrit un nombre comme une **fraction** : $$ \frac{a}{b} \quad \text{avec } a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} $$ **Exemples :** - $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{4}$ - $-\frac{5}{2}$ Une fraction signifie toujours **“un partage en parts égales”**. Par exemple $\frac{3}{4}$ = 3 parts quand on a coupé 1 en 4 morceaux égaux. --- ### b) Écriture décimale On écrit le nombre avec **une virgule** (ou un point) et des chiffres après : - $0{,}5 = \frac{1}{2}$ - $0{,}75 = \frac{3}{4}$ - $-2{,}5 = -\frac{5}{2}$ Certaines écritures décimales **s’arrêtent** (comme $0{,}25$), d’autres **répètent un motif** à l’infini (comme $0{,}333\ldots$). --- ### c) Écriture scientifique (notation scientifique) Très utile pour les **très grands** ou **très petits** nombres : $$ a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leq |a| < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z} $$ **Exemples :** - $12\,500 = 1{,}25 \times 10^4$ - $0{,}000\,36 = 3{,}6 \times 10^{-4}$ La **puissance de 10** indique combien de fois on **décale la virgule** : $10^3$ → 3 zéros à droite, $10^{-3}$ → 3 déplacements vers la gauche. --- ## 2. Les puissances Les puissances servent à **raccourcir les multiplications répétées**. ### a) Puissance d’un nombre entier positif Pour un nombre réel $a$ et un entier naturel $n$ : **Exemples :** - $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ - $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ --- ### b) Cas particuliers : $a^1$, $a^0$, $a^{-n}$ - $a^1 = a$ - pour $a \neq 0$ : $a^0 = 1$ - pour $a \neq 0$ et $n \in \mathbb{N}$ : $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$ **Exemples :** - $10^0 = 1$ - $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ Un **exposant négatif** ne rend pas le nombre “négatif” : il le transforme en **inverse multiplicatif**. --- ### c) Règles de calcul utiles Pour $a \neq 0$ et $m,n \in \mathbb{Z}$ : - Produit de puissances de même base - Puissance d’une puissance - Puissance d’un produit --- ## 3. Les racines Les racines “inversent” l’effet des puissances. ### a) Racine carrée La racine carrée de $a$ (pour $a \ge 0$) est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : **Exemples :** - $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$ - $\sqrt{25} = 5$ - $\sqrt{2} \approx 1{,}4142\dots$ (irrationnel) En $\mathbb{R}$, on ne définit pas la racine carrée d’un nombre **négatif** (ex. $\sqrt{-1}$ n’est pas réel). --- ### b) Racine $n$-ième Plus généralement, pour $n \ge 2$ : **Exemples :** - $\sqrt[3]{8} = 2$ car $2^3 = 8$ - $\sqrt[4]{16} = 2$ car $2^4 = 16$ --- ### c) Lien entre puissances et racines Les racines peuvent s’écrire sous forme de **puissances à exposant fractionnaire** (quand ça a un sens) : - - **Exemple :** $$ \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}} $$ --- ## 4. La valeur absolue La valeur absolue mesure la **distance d’un nombre au zéro** sur la droite réelle. ### a) Définition Pour un réel $x$ : **Exemples :** - $|5| = 5$ - $|-5| = -(-5) = 5$ - $|0| = 0$ --- ### b) Interprétation géométrique Sur une **droite graduée**, $|x|$ est la **distance** entre le point d’abscisse $x$ et le point 0. La distance est toujours **positive ou nulle**, jamais négative. $|x|$ ne “rend pas un nombre positif par magie”, il dit : “**combien** ce nombre est loin de 0”. --- ### c) Propriétés utiles Pour tous réels $x$ et $y$ : - $|x| \ge 0$ - $|x| = 0 \iff x = 0$ - $|-x| = |x|$ - $|xy| = |x| \cdot |y|$ - $|x + y| \le |x| + |y|$ (inégalité triangulaire) --- ## 5. Panorama global On peut résumer le rôle de chaque notion ainsi : | Notion | Rôle principal | |-------------------|-----------------------------------------------------| | **Écritures** | Représenter un même nombre sous différentes formes | | **Puissances** | Raccourcir des multiplications répétées | | **Racines** | “Annuler” l’effet d’une puissance | | **Valeur absolue**| Mesurer la distance à 0 | Toutes ces idées sont des **outils de base** pour la suite : équations, fonctions, dérivées, trigonométrie… bref, tout ce qui vient après.