# 1 – Les ensembles de nombres (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ) Comprendre les ensembles de nombres, c’est un peu comme **visiter les différents étages de l’univers mathématique**. À chaque niveau, on débloque de nouveaux types de nombres, comme dans un jeu où chaque monde élargit les règles possibles. --- ## 1. Les nombres naturels : ℕ Les **nombres naturels** sont notre point de départ. Ce sont ceux qu’on utilise spontanément pour **compter et dénombrer** : des pommes, des élèves, ou les heures d’attente avant les vacances. $$ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} $$ Ils décrivent uniquement ce qui **existe** ou **peut être ajouté**. Pas encore de négatif ici, juste du « zéro ou plus ». --- ## 2. Les nombres entiers : ℤ Un jour, on réalise qu’on ne peut pas toujours se contenter d’ajouter. Soustraire, c’est possible… mais pas dans ℕ. Alors on étend notre univers pour accueillir les **entiers négatifs**. $$ \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} $$ Les entiers permettent de **se déplacer dans les deux sens** : gains et pertes, dettes et bénéfices, droite et gauche. --- ## 3. Les nombres rationnels : ℚ À un moment, compter ou soustraire ne suffit plus : on veut **partager**. Diviser 1 en 2 parts égales donne $\frac{1}{2}$, un nombre **entre 0 et 1**. **Exemples :** - $\frac{1}{2}$ → une moitié - $\frac{3}{4}$ → trois quarts - $\frac{-5}{2}$ → deux unités et demie en négatif - $0{,}25$ → équivaut à $\frac{1}{4}$ Les rationnels sont les nombres qu’on peut **écrire comme un partage** : un entier découpé en parts égales. --- ## 4. Les nombres réels : ℝ Pourtant… il restait encore des « zones interdites ». Certains nombres comme $\sqrt{2}$, $\pi$ ou $e$ **ne s’écrivent jamais comme une fraction**. Ils existent pourtant bien sur la droite des nombres. $$ \mathbb{R} = \text{ensemble de tous les nombres qu’on peut placer sur une droite continue.} $$ Ici, le symbole “$\subset$” signifie simplement que **tout nombre d’un ensemble fait aussi partie du suivant**. Les **irrationnels** (comme $\pi$ ou $\sqrt{2}$) sont réels mais **non rationnels**. Leurs décimales ne se répètent jamais. --- # 2 – Manipuler les ensembles : bases indispensables Maintenant qu’on connaît les grands ensembles de nombres, il faut apprendre **à s’y déplacer** : vérifier si un nombre appartient à un ensemble, lire les notations, comprendre les intervalles et les domaines… Cette section donne les bases qui serviront **dans tout le reste des mathématiques**. --- ## 1. Appartenance et non-appartenance Notations essentielles : - $x \in A$ : *x appartient à l’ensemble A* - $x \notin A$ : *x n’appartient pas à A* **Exemples :** - $3 \in \mathbb{N}$ - $-2 \notin \mathbb{N}$ - $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ - $\pi \notin \mathbb{Q}$ mais $\pi \in \mathbb{R}$ Savoir si un nombre appartient à un ensemble, c’est vérifier qu’un **calcul a du sens** dans un cadre donné. --- ## 2. Les intervalles : découper la droite réelle Un **intervalle** est une partie continue de la droite réelle. On utilise des parenthèses ou crochets pour dire si les bornes sont incluses ou non. ### Les différentes formes Un intervalle contient **tous les nombres entre $a$ et $b$**. La seule chose qui change selon la notation, c’est si **les bornes $a$ et $b$ sont incluses ou non**. | Notation | Type | Bornes incluses ? | |-----------|--------|-----------------------------------| | $[a,b]$ | fermé | $a$ et $b$ **inclus** | | $]a,b[$ | ouvert | ni $a$ ni $b$ **inclus** | | $[a,b[$ | mixte | $a$ inclus, $b$ non inclus | | $]a,b]$ | mixte | $a$ non inclus, $b$ inclus | Par exemple, $[0,5]$ contient **tous** les nombres entre 0 et 5 (comme 1, 2, 3, $\sqrt{2}$, 4,999 …), **ainsi que** 0 et 5 eux-mêmes. **Exemples :** - $3 \in [0,5]$ - $5 \notin [0,5[$ - $1 \in ]-2,2[$ --- ## 3. Bornes, majorants et minorants Ces notions décrivent des **limites** d’un ensemble. ### Minorant $m$ est un **minorant** de $A$ si $m \le x$ pour tout $x \in A$. ### Majorant $M$ est un **majorant** de $A$ si $x \le M$ pour tout $x \in A$. _Exemple :_ Dans cet exemple, l’ensemble considéré est : A=\{−3, −1, 1, 2, 5\} Chaque élément de A est représenté par un point bleu sur la droite réelle. En déplaçant la souris, tu fais bouger une barre verticale qui joue le rôle d’un candidat majorant ou minorant : - La barre devient verte lorsqu’elle se trouve à gauche de tous les points : elle est alors un minorant de l’ensemble. - Elle devient rouge lorsqu’elle est à droite de tous les points : elle est alors un majorant. - Lorsqu’elle se situe entre certains points, elle n’est ni majorant ni minorant. Deux traits bleus indiquent enfin l’infimum et le supremum, c’est-à-dire les bornes naturelles de l’ensemble : la position la plus à gauche (inf(A)) et la plus à droite (sup(A)). ### Bornes (les plus “serrées”) Pour $A = (2,7)$ : - $\inf(A) = 2$ - $\sup(A) = 7$ Aucun des deux n’appartient à $A$. --- ## 4. Union, intersection, différence Ces opérations permettent de **combiner** des ensembles. ### Intersection : $A \cap B$ Ce que $A$ et $B$ ont **en commun**. Ex : $[0,5] \cap [3,10] = [3,5]$. ### Union : $A \cup B$ Tout ce qui est dans $A$ **ou** dans $B$. Ex : $[0,2] \cup [5,8]$. ### Différence : $A \setminus B$ Ce qui est dans $A$ mais **pas** dans $B$. Ex : $[0,5] \setminus [2,3] = [0,2] \cup [3,5]$. --- ## 5. Domaines de définition : quand un calcul est autorisé ? Déterminer le **domaine** d’une expression, c’est préciser *pour quels nombres le calcul est possible*. ### Exemples classiques | Expression | Interdit | Domaine | |-----------|----------|---------| | $\frac{1}{x}$ | $x=0$ | $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ | | $\sqrt{x}$ | $x<0$ | $[0,+\infty[$ | | $\ln(x)$ | $x \le 0$ | $]0,+\infty[$ | Les exclusions sont essentielles pour éviter les contradictions (division par zéro, racine négative…). --- # 3 – Résumé global | Notion | Rôle | |--------|------| | ℕ, ℤ, ℚ, ℝ | Les grands “mondes” des nombres | | Appartenance | Savoir si un nombre vit dans un ensemble | | Intervalles | Découper la droite réelle | | Bornes | Limites inférieure et supérieure | | Union / intersection | Combiner les zones | | Domaine | Où un calcul a du sens | Cet ensemble d’idées constitue **la base solide** pour la suite : puissances, racines, équations, fonctions, dérivées…