1 – Les ensembles de nombres (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ)

Comprendre les ensembles de nombres, c’est un peu comme visiter les différents étages de l’univers mathématique.
À chaque niveau, on débloque de nouveaux types de nombres, comme dans un jeu où chaque monde élargit les règles possibles.

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1. Les nombres naturels : ℕ

Les nombres naturels sont notre point de départ.
Ce sont ceux qu’on utilise spontanément pour compter et dénombrer : des pommes, des élèves, ou les heures d’attente avant les vacances.

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$$

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2. Les nombres entiers : ℤ

Un jour, on réalise qu’on ne peut pas toujours se contenter d’ajouter.
Soustraire, c’est possible… mais pas dans ℕ.
Alors on étend notre univers pour accueillir les entiers négatifs.

$$\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$

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3. Les nombres rationnels : ℚ

À un moment, compter ou soustraire ne suffit plus : on veut partager.
Diviser 1 en 2 parts égales donne $\frac{1}{2}$, un nombre entre 0 et 1.

Exemples :

• $\frac{1}{2}$ → une moitié
• $\frac{3}{4}$ → trois quarts
• $\frac{-5}{2}$ → deux unités et demie en négatif
• $0{,}25$ → équivaut à $\frac{1}{4}$

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4. Les nombres réels : ℝ

Pourtant… il restait encore des « zones interdites ».
Certains nombres comme $\sqrt{2}$, $\pi$ ou $e$ ne s’écrivent jamais comme une fraction.
Ils existent pourtant bien sur la droite des nombres.

$$\mathbb{R} = \text{ensemble de tous les nombres qu’on peut placer sur une droite continue.}$$

Ici, le symbole “$\subset$” signifie simplement que tout nombre d’un ensemble fait aussi partie du suivant.

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2 – Manipuler les ensembles : bases indispensables

Maintenant qu’on connaît les grands ensembles de nombres, il faut apprendre à s’y déplacer :
vérifier si un nombre appartient à un ensemble, lire les notations, comprendre les intervalles et les domaines…

Cette section donne les bases qui serviront dans tout le reste des mathématiques.

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1. Appartenance et non-appartenance

Notations essentielles :

• $x \in A$ : x appartient à l’ensemble A
• $x \notin A$ : x n’appartient pas à A

Exemples :

• $3 \in \mathbb{N}$
• $-2 \notin \mathbb{N}$
• $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$
• $\pi \notin \mathbb{Q}$ mais $\pi \in \mathbb{R}$

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2. Les intervalles : découper la droite réelle

Un intervalle est une partie continue de la droite réelle.
On utilise des parenthèses ou crochets pour dire si les bornes sont incluses ou non.

Les différentes formes

Un intervalle contient tous les nombres entre $a$ et $b$.
La seule chose qui change selon la notation, c’est si les bornes $a$ et $b$ sont incluses ou non.

Notation	Type	Bornes incluses ?
$[a,b]$	fermé	$a$ et $b$ inclus
$]a,b[$	ouvert	ni $a$ ni $b$ inclus
$[a,b[$	mixte	$a$ inclus, $b$ non inclus
$]a,b]$	mixte	$a$ non inclus, $b$ inclus

Par exemple, $[0,5]$ contient tous les nombres entre 0 et 5 (comme 1, 2, 3, $\sqrt{2}$, 4,999 …), ainsi que 0 et 5 eux-mêmes.

Exemples :

• $3 \in [0,5]$
• $5 \notin [0,5[$
• $1 \in ]-2,2[$

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3. Bornes, majorants et minorants

Ces notions décrivent des limites d’un ensemble.

Minorant

$m$ est un minorant de $A$ si $m \le x$ pour tout $x \in A$.

Majorant

$M$ est un majorant de $A$ si $x \le M$ pour tout $x \in A$.

Exemple :

Dans cet exemple, l’ensemble considéré est : A={−3, −1,  1,  2,  5} Chaque élément de A est représenté par un point bleu sur la droite réelle. En déplaçant la souris, tu fais bouger une barre verticale qui joue le rôle d’un candidat majorant ou minorant :

• La barre devient verte lorsqu’elle se trouve à gauche de tous les points : elle est alors un minorant de l’ensemble.
• Elle devient rouge lorsqu’elle est à droite de tous les points : elle est alors un majorant.
• Lorsqu’elle se situe entre certains points, elle n’est ni majorant ni minorant.

Deux traits bleus indiquent enfin l’infimum et le supremum, c’est-à-dire les bornes naturelles de l’ensemble : la position la plus à gauche (inf(A)) et la plus à droite (sup(A)).

Bornes (les plus “serrées”)

Pour $A = (2,7)$ :

• $\inf(A) = 2$
• $\sup(A) = 7$

Aucun des deux n’appartient à $A$.

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4. Union, intersection, différence

Ces opérations permettent de combiner des ensembles.

Intersection : $A \cap B$

Ce que $A$ et $B$ ont en commun.
Ex : $[0,5] \cap [3,10] = [3,5]$.

Union : $A \cup B$

Tout ce qui est dans $A$ ou dans $B$.
Ex : $[0,2] \cup [5,8]$.

Différence : $A \setminus B$

Ce qui est dans $A$ mais pas dans $B$.
Ex : $[0,5] \setminus [2,3] = [0,2] \cup [3,5]$.

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5. Domaines de définition : quand un calcul est autorisé ?

Déterminer le domaine d’une expression, c’est préciser pour quels nombres le calcul est possible.

Exemples classiques

Expression	Interdit	Domaine
$\frac{1}{x}$	$x=0$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$
$\sqrt{x}$	$x<0$	$[0,+\infty[$
$\ln(x)$	$x \le 0$	$]0,+\infty[$

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3 – Résumé global

Notion	Rôle
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ	Les grands “mondes” des nombres
Appartenance	Savoir si un nombre vit dans un ensemble
Intervalles	Découper la droite réelle
Bornes	Limites inférieure et supérieure
Union / intersection	Combiner les zones
Domaine	Où un calcul a du sens

Cet ensemble d’idées constitue la base solide pour la suite : puissances, racines, équations, fonctions, dérivées…